Se quiere construir un pequeño cobertizo de madera de 6m3 de volumen, en forma de prisma rectangular, adosado a la pared lateral de una casa, para guardar leña. Solo hay que construir, por tanto, el techo y tres paredes (la pared del fondo del cobertizo es la de la casa a la que está adosado). Además, se quiere que el cobertizo mida el triple de anchura que de profundidad. Cada metro cuadrado de pared tiene un coste de construcción de 30 € y el techo cuesta 50 € por metro cuadrado. Una vez construido el cobertizo, añadir una puerta tiene un coste fijo de 35 €.Dibujo de un cobertizo con forma de prisma rectangular, de color gris, adosado a la pared de una casa, con una puerta de arco en la pared frontala) (1,25 puntos) Compruebe que el coste de construcción del cobertizo viene dado por la función C(x)=x300+150x2+35, donde x es la profundidad del cobertizo en metros. b) (1,25 puntos) Calcule cuáles han de ser las dimensiones del cobertizo para que el coste de construcción sea mínimo y justifique la respuesta. ¿Cuál es este coste?
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Resultado
a) Con profundidad x, anchura 3x y altura h=x22:C(x)=x300+150x2+35 (comprobado). b) Coste mínimo con 1 m de profundidad, 3 m de anchura y 2 m de altura; el coste es de 485 €.
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Solución oficial
Corrección oficial de la PAU de Cataluña (Generalitat de Catalunya), traducida del catalán. Las puntuaciones de cada paso son las de la pauta de corrección.
a) [1,25 puntos] Como se indica en el enunciado, denotamos por x la profundidad del cobertizo, y denotamos por h la altura; la anchura será 3x. El volumen del cobertizo ha de ser de 6m3, es decir, 3x⋅x⋅h=6 y, por tanto, h=x22. El coste de construcción viene dado porC(x)=30⋅(3xh+xh+xh)+50⋅3x2+35=150xh+150x2+35==150x⋅x22+150x2+35=x300+150x2+35.b) [1,25 puntos] Para minimizar la función C(x), calculamos su derivada:C′(x)=−x2300+300xSi resolvemos la ecuación C′(x)=0 obtenemos x2300=300x o, equivalentemente, x3=1, que tiene como única solución real x=1. Como C′′(x)=x3600+300 y C′′(1)>0, comprobamos fácilmente que se trata de un mínimo de la función. Así pues, las dimensiones del cobertizo han de ser x=1 metro de profundidad, 3x=3 metros de anchura y h=122=2 metros de altura. Para estas dimensiones, el coste de construcción es de C(1)=1300+150⋅12+35=485 euros. Criterios de corrección:
a) Cuente 0,25 p. por el planteamiento correcto de las variables (anchura, profundidad y altura), 0,5 p. por expresar la ligadura que representa el volumen fijado y 0,5 p. por la expresión final del coste.
b) Cuente 0,25 p. por la derivada, 0,25 p. por despejar correctamente, 0,25 p. por justificar que se trata de un mínimo, 0,25 p. por las tres dimensiones pedidas y 0,25 p. por el cálculo del coste total.
Comentarios: Pueden plantear que la anchura es x y la profundidad 3x; los cálculos serán diferentes, pero dé los puntos correspondientes de cada parte siempre que esté bien hecha y bien argumentada. La justificación de que se trata de un mínimo puede hacerse también sin la derivada segunda, analizando el signo de la derivada primera; cuéntelo bien si lo hacen así, siempre que esté bien argumentado.
