Andreu pone las nueve bolas que se muestran a continuación dentro de una bolsa. a) A continuación, saca de la bolsa dos bolas al azar, una después de otra y sin reemplazo (es decir, no devuelve a la bolsa la primera bola antes de sacar la segunda). - Calcule la probabilidad de que la primera bola sea una A o una E. (0,5 puntos) - Calcule la probabilidad de que las dos bolas sean diferentes. (0,75 puntos) b) Andreu vuelve a poner todas las bolas en la bolsa y saca cinco al azar, una detrás de otra, pero ahora con reemplazo (es decir, devolviendo a la bolsa cada bola extraída antes de sacar la siguiente). - Calcule la probabilidad de que no haya sacado ninguna A. (0,5 puntos) - Calcule la probabilidad de que haya sacado al menos dos A. (0,75 puntos)

Matemáticas IIMedio2,5 pts

Probabilidad

Cataluña · 2024 · Junio

Enunciado

Andreu pone las nueve bolas que se muestran a continuación dentro de una bolsa.

Nueve bolas, cada una con una letra: B, A, Y, E, S, F, A, N, S

a) A continuación, saca de la bolsa dos bolas al azar, una después de otra y sin reemplazo (es decir, no devuelve a la bolsa la primera bola antes de sacar la segunda).

Calcule la probabilidad de que la primera bola sea una A o una E. (0,5 puntos)
Calcule la probabilidad de que las dos bolas sean diferentes. (0,75 puntos)

b) Andreu vuelve a poner todas las bolas en la bolsa y saca cinco al azar, una detrás de otra, pero ahora con reemplazo (es decir, devolviendo a la bolsa cada bola extraída antes de sacar la siguiente).

Calcule la probabilidad de que no haya sacado ninguna A. (0,5 puntos)
Calcule la probabilidad de que haya sacado al menos dos A. (0,75 puntos)

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Resultado

P(\text{la primera es A o E}) = \dfrac{1}{3}

;

P(\text{dos diferentes}) = \dfrac{17}{18} \approx 0{,}944

.

b) Con

X \sim B\!\left(5, \dfrac{2}{9}\right)

P(X = 0) = \left(\dfrac{7}{9}\right)^5 \approx 0{,}284

;

P(X \geq 2) \approx 0{,}308

Ver la solución oficialla corrección de la PAU, con los puntos de cada paso

Solución oficial

Corrección oficial de la PAU de Cataluña (Generalitat de Catalunya), traducida del catalán. Las puntuaciones de cada paso son las de la pauta de corrección.

Dado que hay dos A y una E, en la primera extracción tenemos 3 casos favorables sobre 9 posibles; por tanto, la probabilidad pedida es $\dfrac{3}{9} = \dfrac{1}{3}$ . [0,5 puntos]

Calculamos primero la probabilidad de que las dos bolas sean iguales. Esto solo puede pasar si son dos A o dos S.

P(\text{dos } A) = P(\text{primera } A \text{ y segunda } A) = \frac{2}{9}\cdot\frac{1}{8} = \frac{1}{36} = P(\text{dos } S).

Por tanto,

P(\text{dos diferentes}) = 1 - P(\text{dos iguales}) = 1 - 2\cdot\dfrac{1}{36} = \dfrac{17}{18} = 0{,}944\ldots

Alternativamente, podemos argumentar directamente de la manera siguiente: si la primera bola no es ni A ni S, seguro que las dos serán diferentes; si la primera bola es una A, hay 7 bolas favorables para la segunda extracción (todas menos la otra A); y, análogamente, si la primera bola es una S, hay también 7 bolas favorables para la segunda extracción. Por tanto,

\begin{aligned} P(\text{dos diferentes}) &= P(\text{la primera no es ni } A \text{ ni } S) + P(\text{primera } A \text{ y segunda no } A) \\ &\quad + P(\text{primera } S \text{ y segunda no } S) = \\ &= \frac{5}{9} + \frac{2}{9}\cdot\frac{7}{8} + \frac{2}{9}\cdot\frac{7}{8} = \frac{17}{18}. \end{aligned}

[0,75 puntos]

b)

El número de bolas A extraídas sigue una ley binomial con

n = 5

p = \dfrac{2}{9}

$P(\text{ninguna } A) = (1 - p)^5 = \left(\dfrac{7}{9}\right)^5 = 0{,}284\ldots$ [0,5 puntos]

(ii) Pasando al complementario, tenemos

P(\text{al menos 2 } A) = 1 - P(\text{una } A) - P(\text{ninguna } A) = 1 - \binom{5}{1}\left(\frac{2}{9}\right)\left(\frac{7}{9}\right)^4 - \left(\frac{7}{9}\right)^5 = 0{,}308\ldots

[0,75 puntos]

Criterios de corrección:

a) (i) Cuente 0,5 p. (ii) Cuente 0,5 p. por el planteamiento y 0,25 p. por el cálculo.
b) (i) Cuente 0,5 p. (ii) Cuente 0,5 p. por el planteamiento y 0,25 p. por hacer su cálculo.

Comentarios: Es más largo, pero el apartado (b) (ii) se puede responder también calculando con la binomial