Integrales

Solución oficial

Corrección oficial de la PAU de Cataluña (Generalitat de Catalunya), traducida del catalán. Las puntuaciones de cada paso son las de la pauta de corrección.

a) [1,25 puntos]

Tal como se ve en el dibujo, las abscisas de los puntos $(0, 5)$, $P$ y $Q$ son las tres soluciones de la ecuación $f(x) = 5$:$$-x^3 + 7x^2 - 6x + 5 = 5 \;\longrightarrow\; x(-x^2 + 7x - 6) = 0$$$$x = 0, \quad x = \frac{-7 \pm \sqrt{49 - 24}}{-2} = \begin{cases} 1 \\ 6 \end{cases}$$Por tanto, las coordenadas de los puntos pedidos son $P = (1, 5)$, $Q = (6, 5)$ y $R = (6, 0)$.

Ahora, la recta $r$ que pasa por los puntos $P = (1, 5)$ y $R = (6, 0)$ tiene pendiente $m = \dfrac{0 - 5}{6 - 1} = -1$; por tanto, es $y = -x + n$ y, como pasa por el punto $R = (6, 0)$, tenemos que $n = 6$; se trata de la recta $y = -x + 6$.

b) [1,25 puntos]

La superficie del terreno será la integral definida entre los puntos de abscisa $x = 1$ y $x = 6$ de la función $f(x)$ menos la recta:$$\begin{aligned} A &= \int_1^6 \big(f(x) - r(x)\big)\,dx = \\ &= \int_1^6 \Big(\big(-x^3 + 7x^2 - 6x + 5\big) - \big(-x + 6\big)\Big)\,dx = \\ &= \int_1^6 \big(-x^3 + 7x^2 - 5x - 1\big)\,dx = \left[-\frac{x^4}{4} + \frac{7}{3}x^3 - \frac{5}{2}x^2 - x\right]_1^6 = \end{aligned}$$$$= \left(-\frac{6^4}{4} + \frac{7}{3}6^3 - \frac{5}{2}6^2 - 6\right) - \left(-\frac{1}{4} + \frac{7}{3} - \frac{5}{2} - 1\right) = \frac{1025}{12} = 85{,}416\ldots\ u^2.$$Alternativamente, se puede integrar solo $f(x)$ entre 1 y 6 y restar el triángulo inferior no incluido en el terreno:$$\begin{aligned} A &= \int_1^6 f(x)\,dx - \frac{5\cdot 5}{2} = \int_1^6 \big(-x^3 + 7x^2 - 6x + 5\big)\,dx - \frac{25}{2} = \left[-\frac{x^4}{4} + \frac{7}{3}x^3 - 3x^2 + 5x\right]_1^6 - \frac{25}{2} = \\ &= \left(-\frac{6^4}{4} + \frac{7}{3}6^3 - 3\cdot 6^2 + 5\cdot 6\right) - \left(-\frac{1}{4} + \frac{7}{3} - 3 + 5\right) - \frac{25}{2} = \frac{1175}{12} - \frac{25}{2} = 85{,}416\ldots\ u^2. \end{aligned}$$Criterios de corrección:

• a) Cuente 0,25 p. por plantear bien la ecuación, 0,25 p. por resolverla, 0,25 p. por dar las coordenadas de los tres puntos y 0,5 p. por la ecuación de la recta.
• b) Cuente 0,5 p. por el planteamiento de la integral correcta y 0,75 p. por hacer su cálculo.

Comentarios: Cuente bien cualquiera de las maneras de hacerlo, si son correctas y están bien explicadas.