Sistemas de ecuaciones

Solución oficial

Corrección oficial de la PAU de Cataluña (Generalitat de Catalunya), traducida del catalán. Las puntuaciones de cada paso son las de la pauta de corrección.

a) [1 punto]

La matriz de coeficientes y la matriz ampliada del sistema son:$$M = \begin{pmatrix} 4 & 2 & -1 \\ 1 & -1 & k \\ 3 & 3 & 0 \end{pmatrix} \quad \text{y} \quad \overline{M} = \begin{pmatrix} 4 & 2 & -1 & 4 \\ 1 & -1 & k & 3 \\ 3 & 3 & 0 & 1 \end{pmatrix}$$Calculando el determinante de coeficientes e igualándolo a cero obtenemos$$\begin{vmatrix} 4 & 2 & -1 \\ 1 & -1 & k \\ 3 & 3 & 0 \end{vmatrix} = -3 + 6k - 3 - 12k = -6k - 6 = 0,$$es decir, $k = -1$. Por tanto, si $k \neq -1$, tendremos $\operatorname{rang}(M) = \operatorname{rang}(\overline{M}) = 3$, que coincide con el número de incógnitas y, por el teorema de Rouché-Frobenius, el sistema es compatible determinado. En cambio, si $k = -1$, el sistema queda$$\left.\begin{aligned} 4x + 2y - z &= 4 \\ x - y - z &= 3 \\ 3x + 3y &= 1 \end{aligned}\right\};$$como la tercera ecuación es la resta de la primera menos la segunda, se trata de un sistema de dos ecuaciones y tres incógnitas, con rango de coeficientes 2, ya que $\begin{vmatrix} 4 & 2 \\ 1 & -1 \end{vmatrix} = -4 - 2 = -6 \neq 0$. Por tanto, el sistema es compatible indeterminado con un grado de libertad.

La solución para $k = 0$ la podemos calcular por la regla de Cramer:$$x = \frac{\begin{vmatrix} 4 & 2 & -1 \\ 3 & -1 & 0 \\ 1 & 3 & 0 \end{vmatrix}}{\begin{vmatrix} 4 & 2 & -1 \\ 1 & -1 & 0 \\ 3 & 3 & 0 \end{vmatrix}} = \frac{-10}{-6} = \frac{5}{3},$$$$y = \frac{\begin{vmatrix} 4 & 4 & -1 \\ 1 & 3 & 0 \\ 3 & 1 & 0 \end{vmatrix}}{\begin{vmatrix} 4 & 2 & -1 \\ 1 & -1 & 0 \\ 3 & 3 & 0 \end{vmatrix}} = \frac{8}{-6} = \frac{-4}{3},$$$$z = \frac{\begin{vmatrix} 4 & 2 & 4 \\ 1 & -1 & 3 \\ 3 & 3 & 1 \end{vmatrix}}{\begin{vmatrix} 4 & 2 & -1 \\ 1 & -1 & 0 \\ 3 & 3 & 0 \end{vmatrix}} = \frac{-4 + 18 + 12 + 12 - 36 - 2}{-6} = 0.$$b) [0,75 puntos]

Para el caso $k = -1$, y eliminando la tercera ecuación por ser redundante, obtenemos$$\left.\begin{aligned} 4x + 2y - z &= 4 \\ x - y - z &= 3 \end{aligned}\right\}.$$Restando, obtenemos $3x + 3y = 1$. Haciendo $x = \lambda$, tenemos $y = \dfrac{1}{3} - \lambda$ y entonces $z = x - y - 3 = \lambda - \dfrac{1}{3} + \lambda - 3 = 2\lambda - \dfrac{10}{3}$. Todas las soluciones del sistema son, pues, de la forma$$(x, y, z) = \left(\lambda,\ \frac{1}{3} - \lambda,\ 2\lambda - \frac{10}{3}\right), \quad \lambda \in \mathbb{R}.$$c) [0,75 puntos]

Como hemos notado, en el caso $k = -1$ la tercera ecuación es redundante porque es la resta de la primera menos la segunda. Si modificamos el término independiente poniendo, por ejemplo, $3x + 3y = 2$, tendremos la incongruencia $1 = 2$ y el sistema será incompatible.

Dicho de otra manera, es incompatible porque la matriz de coeficientes no ha cambiado y tiene rango 2, mientras que ahora la matriz ampliada tiene rango 3, ya que$$\begin{vmatrix} 2 & -1 & 4 \\ -1 & -1 & 3 \\ 3 & 0 & 2 \end{vmatrix} = -4 - 9 + 12 - 2 = -3 \neq 0.$$Criterios de corrección:

• a) Cuente 0,25 p. por el determinante, 0,25 p. por la discusión y 0,5 p. por la solución del caso $k = 0$.
• b) Cuente 0,75 p. por la expresión paramétrica de todas las soluciones.
• c) Cuente 0,25 p. por la nueva ecuación y 0,5 p. por la justificación de que ahora es incompatible.

Comentario: La discusión del sistema y el cálculo de las soluciones (tanto para $k = 0$ como para $k = -1$) puede hacerse de otras maneras. Cuéntelo bien en la medida en que lo que hagan sea correcto y esté bien justificado.