Derivadas y aplicaciones

Solución oficial

Corrección oficial de la PAU de Cataluña (Generalitat de Catalunya), traducida del catalán. Las puntuaciones de cada paso son las de la pauta de corrección.

a) [1 punto]

Derivando e igualando a cero,$$f'(x) = 2\,\frac{\frac{1}{x}\,x - \ln x}{x^2} = 2\,\frac{1 - \ln x}{x^2} = 0,$$nos queda la ecuación $\ln x = 1$; por tanto, $f$ tiene solo un punto crítico, $x = e$. Resulta que es un máximo, ya que la derivada segunda es negativa:$$f''(x) = 2\,\frac{-\frac{1}{x}x^2 - (1 - \ln x)\cdot 2x}{x^4}, \qquad f''(e) = 2\,\frac{-e}{e^4} = -2e^{-3} < 0.$$Como solo tiene un máximo, la función es creciente en el intervalo $(0, e)$ y decreciente en $(e, +\infty)$, cosa que también podemos ver directamente mirando el signo de la derivada.

b) [1 punto]

En cero hay una asíntota vertical, ya que $\displaystyle\lim_{x \to 0^+} 2\,\frac{\ln(x)}{x} = \frac{-\infty}{0^+} = -\infty$. Y en el infinito, una asíntota horizontal, cosa que se ve aplicando l'Hôpital,$$\lim_{x \to +\infty} \frac{2\ln x}{x} = \lim_{x \to +\infty} \frac{\frac{2}{x}}{1} = \lim_{x \to +\infty} \frac{2}{x} = 0^+,$$o bien argumentando que, para $x > e$, la función es siempre decreciente, pero no atraviesa nunca el eje de abscisas, ya que $2\,\dfrac{\ln x}{x} = 0$ solo tiene la solución $x = 1$. Este es un esbozo de la gráfica de esta función:

c) [0,5 puntos]

Como $f(1) = 2\,\dfrac{\ln 1}{1} = 0$ y $f'(1) = 2\,\dfrac{1 - \ln 1}{1^2} = 2$, se trata de la recta que pasa por el punto $(1, 0)$ y tiene pendiente 2: es la recta $y - 0 = 2(x - 1) \;\longrightarrow\; y = 2x - 2$.

Criterios de corrección:

• a) Cuente 0,5 p. por el cálculo de la derivada, 0,25 p. por determinar el máximo y 0,25 p. por las zonas de crecimiento y decrecimiento.
• b) Cuente 0,25 p. por la asíntota vertical, 0,5 p. por la horizontal y 0,25 p. por el esbozo de la gráfica.
• c) Cuente 0,5 p. por el cálculo correcto de la recta tangente.

Comentario: Si justifican la existencia de la asíntota horizontal sin calcular su valor (por ejemplo, diciendo que al tender a infinito la función es decreciente sin cortar nunca el eje de abscisas), o incluso diciendo que es 0 sin justificarlo, cuente la totalidad de los 0,5 puntos correspondientes (el enunciado pregunta si $f(x)$ tiene asíntotas, no que las calculen).