Áreas, volúmenes y distancias

Solución oficial

Corrección oficial de la PAU de Cataluña (Generalitat de Catalunya), traducida del catalán. Las puntuaciones de cada paso son las de la pauta de corrección.

a) Por ser perpendicular a $\pi$, la recta $r$ tendrá como vector director $\vec v = (1, 2, -2)$. Y, como ha de pasar por $P = (1, 3, 0)$, se trata de la recta $(x, y, z) = (1, 3, 0) + \lambda(1, 2, -2) = (1 + \lambda, 3 + 2\lambda, -2\lambda)$. Imponiendo la ecuación del plano $\pi$, obtenemos$$1 + \lambda + 2(3 + 2\lambda) - 2(-2\lambda) = -7,$$$$9\lambda + 7 = -7,$$es decir, $\lambda = -\frac{14}{9}$. Esto corresponde al punto $Q = \left(1 - \frac{14}{9},\ 3 - \frac{28}{9},\ \frac{28}{9}\right) = \left(\frac{-5}{9}, \frac{-1}{9}, \frac{28}{9}\right)$.

Criterios de corrección:

• 0,5 p. por la parametrización de la recta $r$.
• 0,25 p. por imponer la ecuación del plano $\pi$.
• 0,25 p. por el cálculo final.

Comentarios: el apartado a) también se puede hacer encontrando primero la ecuación cartesiana de la recta $r$ y después haciendo el sistema de ecuaciones con el plano $\pi$. Puntúese como correcto en la medida en que lo que hagan sea correcto y esté bien explicado.

b) Como el punto $Q$ que hemos calculado es la proyección ortogonal de $P$ sobre el plano $\pi$, la distancia pedida es$$d(P, \pi) = d(P, Q) =$$$$= \sqrt{\left(\frac{-5}{9} - 1\right)^{2} + \left(\frac{-1}{9} - 3\right)^{2} + \left(\frac{28}{9} - 0\right)^{2}} = \frac{1}{9}\sqrt{14^{2} + 28^{2} + 28^{2}} = \frac{42}{9} = \frac{14}{3}.$$Alternativamente, la podemos calcular con la fórmula de la distancia punto-plano:$$d(P, \pi) = \frac{|1 + 2\cdot 3 - 2\cdot 0 + 7|}{\sqrt{1^{2} + 2^{2} + (-2)^{2}}} = \frac{14}{3}.$$Criterios de corrección:

• 0,5 p. por el cálculo de la distancia (por cualquiera de los dos métodos).

c) Por ser paralelo, $\pi'$ tendrá que tener una ecuación de la forma $x + 2y - 2z = D$. E imponiendo que la distancia a $P = (1, 3, 0)$ también sea de $\frac{14}{3}$ obtenemos$$\frac{14}{3} = d(P, \pi') = \frac{|1 + 2\cdot 3 - 2\cdot 0 - D|}{\sqrt{1^{2} + 2^{2} + (-2)^{2}}} = \frac{|7 - D|}{3},$$es decir, $|7 - D| = 14$, $7 - D = \pm 14$, $D = 7 \mp 14 = \begin{cases} -7 \\ 21 \end{cases}$. El valor $D = -7$ corresponde al plano $\pi$ que ya conocemos, y el otro plano $\pi'$ pedido será el de ecuación $x + 2y - 2z = 21$.

Criterios de corrección:

• 0,5 p. por imponer la ecuación (con el valor absoluto tratado correctamente).
• 0,5 p. por aislar $D$ y dar la respuesta.