Optimización

Solución oficial

Corrección oficial de la PAU de Cataluña (Generalitat de Catalunya), traducida del catalán. Las puntuaciones de cada paso son las de la pauta de corrección.

a) La gráfica de la función $y = e^{-2x}$ está esbozada en el dibujo siguiente, junto con uno de los rectángulos descritos en el enunciado:

Como uno cualquiera de estos rectángulos mide $x$ de base y $e^{-2x}$ de altura, su área es $A(x) = xe^{-2x}$. Buscamos los extremos relativos de esta función:$$A'(x) = e^{-2x} + xe^{-2x}(-2) = e^{-2x}(1 - 2x) = 0 \;\longrightarrow\; x = \frac{1}{2}.$$A partir del signo de la función derivada se ve claramente que $A(x)$ es creciente para $x < \frac{1}{2}$ y decreciente para $x > \frac{1}{2}$. Por tanto, el punto $x = \frac{1}{2}$ es un máximo absoluto de $A(x)$. Así, el rectángulo de área máxima corresponde al de lados $x = \frac{1}{2}$ e $y = e^{-2\cdot\left(\frac{1}{2}\right)} = \frac{1}{e}$, y tiene área $A\left(\frac{1}{2}\right) = \frac{1}{2e}\ u^2$.

Criterios de corrección:

• 0,25 p. por escribir la función área.
• 0,25 p. por derivarla.
• 0,25 p. por encontrar el punto crítico.
• 0,5 p. por justificar que se trata de un máximo.
• 0,25 p. por calcular el área máxima.

Comentarios: la justificación del máximo también se puede hacer mediante la derivada segunda. Puntúese como correcta cualquiera de las maneras de hacerlo, en la medida en que sean correctas y estén bien explicadas.

b) La derivada de esta función es $y' = -2e^{-2x}$. La pendiente de la recta tangente en el punto de abscisa $0$ es $y'(0) = -2e^{0} = -2$. Como $y(0) = e^{0} = 1$, la recta tangente será la de ecuación $y - 1 = -2(x - 0)$, es decir, $y = -2x + 1$. El punto de corte de esta recta con el eje de abscisas es $x = \frac{1}{2}$, es decir, el punto $\left(\frac{1}{2}, 0\right)$.

Criterios de corrección:

• 0,25 p. por el cálculo de la derivada.
• 0,5 p. por la ecuación de la recta tangente.
• 0,25 p. por el punto de corte.