Probabilidad

Solución oficial

Corrección oficial de la PAU de Cataluña (Generalitat de Catalunya), traducida del catalán. Las puntuaciones de cada paso son las de la pauta de corrección.

a) Sea $A$ el suceso «padecer arritmia». Del enunciado sabemos que $P(A) = 0{,}2$. De entre las 4 escogidas, el número de personas $N$ que padece arritmias sigue una distribución binomial con parámetros $n = 4$ y $p = 0{,}2$. Pasando al complementario, obtenemos$$P(N \geq 1) = 1 - P(N = 0) = 1 - (1 - 0{,}2)^{4} = 0{,}5904.$$Criterios de corrección:

• 0,5 p. por el planteamiento.
• 0,25 p. por el cálculo.

En el apartado a) también sería correcto el cálculo (más largo) de la probabilidad de que $N$ sea $1, 2, 3, 4$, es decir, $P(N = 1) + P(N = 2) + P(N = 3) + P(N = 4)$, con la binomial. Puntúese con la máxima puntuación si lo hacen así de manera correcta y argumentada.

b) Sea $H$ el suceso «obtener diagnóstico positivo de arritmia en la prueba del Holter». Sean $\bar A$ y $\bar H$ los sucesos complementarios de $A$ y de $H$, respectivamente. Entonces, de los datos del enunciado deducimos:$$P(\bar A) = 0{,}8, \qquad P(H \mid A) = 0{,}95 \quad \text{y} \quad P(H \mid \bar A) = 0{,}005.$$Podemos aplicar la fórmula de la probabilidad total:$$P(H) = P(H \mid A)\cdot P(A) + P(H \mid \bar A)\cdot P(\bar A) = 0{,}95\cdot 0{,}2 + 0{,}005\cdot 0{,}8 = 0{,}194.$$Criterios de corrección:

• 0,5 p. por el planteamiento con la fórmula de las probabilidades totales (o un árbol de decisión).
• 0,25 p. por el cálculo.

c) Para calcular la probabilidad condicionada que se nos pide, utilizaremos la fórmula de Bayes:$$P(A \mid \bar H) = \frac{P(A \cap \bar H)}{P(\bar H)} = \frac{P(A)\cdot P(\bar H \mid A)}{1 - P(H)} = \frac{0{,}2\cdot(1 - 0{,}95)}{1 - 0{,}194} = 0{,}012\ldots$$Criterios de corrección:

• 0,5 p. por el planteamiento de la fórmula de Bayes (o de la probabilidad condicionada).
• 0,5 p. por el cálculo.