Integrales

Solución oficial

Corrección oficial de la PAU de Cataluña (Generalitat de Catalunya), traducida del catalán. Las puntuaciones de cada paso son las de la pauta de corrección.

a) El punto $A$ es un punto de corte de $y = f(x)$ con el eje $OX$:$$x^{3} - 4x^{2} + 4x = 0 \;\longrightarrow\; x(x-2)^{2} = 0 \;\longrightarrow\; x = 0,\ x = 2.$$Por tanto, el punto $A$ tiene por coordenadas $A = (2, 0)$. El punto $D$ es un punto de corte de $y = g(x)$ con el eje $OX$:$$-\left(\frac{x-1}{2}\right)^{2} + 4 = 0 \;\longrightarrow\; x^{2} - 2x - 15 = 0 \;\longrightarrow\; x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4(-15)}}{2} = -3,\ 5.$$Descartamos la solución negativa y podemos afirmar, por tanto, que el punto $D$ tiene coordenadas $D = (5, 0)$. Finalmente, el punto $B$ es el punto de corte de $y = g(x)$ con el eje $OY$; como$$g(0) = -\left(\frac{0-1}{2}\right)^{2} + 4 = \frac{15}{4},$$se trata del punto $B = \left(0, \dfrac{15}{4}\right)$. Las coordenadas del punto $C$ ya nos las da el enunciado, $C = (3, f(3)) = (3, g(3)) = (3, 3)$.

Criterios de corrección:

• 0,25 p. por el cálculo de cada uno de los tres puntos pedidos.

b) La zona punteada es el área comprendida entre $g(x)$ y $f(x)$ desde $x = 0$ hasta $x = 3$:$$A_1 = \int_0^3 \left(-\left(\frac{x-1}{2}\right)^{2} + 4 - \left(x^{3} - 4x^{2} + 4x\right)\right) dx = \int_0^3 \left(\frac{-4x^{3} + 15x^{2} - 14x + 15}{4}\right) dx =$$$$= \frac{1}{4}\left[-x^{4} + 5x^{3} - 7x^{2} + 15x\right]_0^3 = 9\ u^2.$$Criterios de corrección:

• 0,5 p. por el planteamiento del área de la zona punteada (con los límites de integración correctamente colocados).
• 0,5 p. por la primitiva.
• 0,25 p. por el cálculo final.

c) Sabiendo que el área total del logotipo es de $\dfrac{175}{12} = 14{,}583\ldots\ u^2$, la zona rayada tendrá un área de $14{,}583\ldots - 9 = 5{,}583\ldots\ u^2$. Por tanto, para pintar el logotipo de la manera que quieren, necesitarán más pintura azul que roja.

Criterios de corrección:

• 0,5 p. por la respuesta correcta.