Sistemas de ecuaciones

Solución oficial

Corrección oficial de la PAU de Cataluña (Generalitat de Catalunya), traducida del catalán. Las puntuaciones de cada paso son las de la pauta de corrección.

a) El determinante de la matriz de coeficientes del sistema es$$\begin{vmatrix} 1 & -3 & m \\ 1 & m & 2 \\ 1 & 1 & 2 \end{vmatrix} = 2m + m - 6 - m^{2} - 2 + 6 = -m^{2} + 3m - 2,$$que es $0$ cuando $m = \dfrac{-3 \pm \sqrt{9 - 4(-1)(-2)}}{-2} = 1, 2$. Si $m$ no es ni $1$ ni $2$, el rango de la matriz de coeficientes es $3$, por tanto el de la ampliada también, y se trata de un sistema compatible determinado.

En el caso $m = 1$, el rango de la matriz de coeficientes es $2$ (ya que, por ejemplo, el menor superior izquierdo es no nulo) y el de la ampliada es $3$,$$\begin{vmatrix} 1 & -3 & -2 \\ 1 & 1 & 3 \\ 1 & 1 & 1 \end{vmatrix} = 1 - 2 - 9 + 2 - 3 + 3 = -8 \neq 0.$$Por tanto, se trata de un sistema incompatible. (Alternativamente, observamos que las dos últimas ecuaciones son contradictorias en este caso: $x + y + 2z = 3$ y $x + y + 2z = 1$.)

En el caso $m = 2$, el rango de la matriz de coeficientes es $2$ y el de la ampliada también es $2$,$$\left(\begin{array}{ccc|c} 1 & -3 & 2 & -2 \\ 1 & 2 & 2 & 3 \\ 1 & 1 & 2 & 2 \end{array}\right) \sim \left(\begin{array}{ccc|c} 1 & -3 & 2 & -2 \\ 0 & 5 & 0 & 5 \\ 0 & 4 & 0 & 4 \end{array}\right) \sim \left(\begin{array}{ccc|c} 1 & -3 & 2 & -2 \\ 0 & 1 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}\right)$$por tanto, se trata de un sistema compatible indeterminado con un grado de libertad.

Criterios de corrección:

• 0,25 p. por el cálculo del determinante.
• 0,25 p. por encontrar los valores críticos de $m$.
• 0,25 p. por el estudio de cada uno de los tres casos.

b) Si $m = 0$ es un sistema compatible determinado y tiene por solución$$x = \frac{\begin{vmatrix} -2 & -3 & 0 \\ 3 & 0 & 2 \\ 0 & 1 & 2 \end{vmatrix}}{\begin{vmatrix} 1 & -3 & 0 \\ 1 & 0 & 2 \\ 1 & 1 & 2 \end{vmatrix}} = \frac{0 + 0 + 0 - 0 + 4 + 18}{0 + 0 - 6 - 0 - 2 + 6} = \frac{22}{-2} = -11,$$$$y = \frac{\begin{vmatrix} 1 & -2 & 0 \\ 1 & 3 & 2 \\ 1 & 0 & 2 \end{vmatrix}}{\begin{vmatrix} 1 & -3 & 0 \\ 1 & 0 & 2 \\ 1 & 1 & 2 \end{vmatrix}} = \frac{6 + 0 - 4 - 0 - 0 + 4}{-2} = \frac{6}{-2} = -3,$$$$z = \frac{\begin{vmatrix} 1 & -3 & -2 \\ 1 & 0 & 3 \\ 1 & 1 & 0 \end{vmatrix}}{\begin{vmatrix} 1 & -3 & 0 \\ 1 & 0 & 2 \\ 1 & 1 & 2 \end{vmatrix}} = \frac{0 - 2 - 9 - 0 - 3 - 0}{-2} = \frac{-14}{-2} = 7.$$Criterios de corrección:

• 0,5 p. por el cálculo de la solución.

c) Para $m = 2$ sabemos que el sistema es equivalente a las dos ecuaciones $x - 3y + 2z = -2$ e $y = 1$, y es compatible indeterminado. Imponiendo, además, la condición extra $x = 5y$, tenemos $x = 5$ y, de la primera ecuación, $2z = -2 - x + 3y = -2 - 5 + 3 = -4$, es decir, $z = -2$. Así, la solución pedida es $(x, y, z) = (5, 1, -2)$.

Criterios de corrección:

• 0,25 p. por saber combinar el sistema con la condición extra.
• 0,5 p. por el cálculo de la solución pedida.

Comentarios: el sistema se puede discutir y se puede resolver de maneras alternativas. Puntúese como correcto en la medida en que lo que hagan sea correcto y esté convenientemente justificado.