Límites y continuidad

Solución oficial

Corrección oficial de la PAU de Cataluña (Generalitat de Catalunya), traducida del catalán. Las puntuaciones de cada paso son las de la pauta de corrección.

a) La función $f(x)$ es polinómica y, por tanto, continua en todos los reales. Como$$f(-2) = 3\cdot(-2)^{13} + 5\cdot(-2)^{3} + 2 < 0,$$$$f(0) = 3\cdot(0)^{13} + 5\cdot(0)^{3} + 2 > 0,$$podemos aplicar el teorema de Bolzano y la función $f(x)$ se anula forzosamente en algún punto del intervalo $[-2, 0]$. Para encontrar un intervalo de longitud $0{,}5$ solo hay que tantear unos cuantos intervalos más pequeños; como$$f(-1) = 3\cdot(-1)^{13} + 5\cdot(-1)^{3} + 2 = -6 < 0,$$la raíz pertenece al intervalo $[-1, 0]$. Y, finalmente, como$$f(-0{,}5) = 3\cdot(-0{,}5)^{13} + 5\cdot(-0{,}5)^{3} + 2 = 1{,}374\ldots > 0,$$la raíz pertenece al intervalo $[-1, -0{,}5]$.

Criterios de corrección:

• 0,25 p. por justificar que se puede aplicar el teorema de Bolzano.
• 0,5 p. por ver que hay una raíz en el intervalo $[-2, 0]$.
• 0,5 p. por afinar hasta un intervalo de cinco décimas de anchura.

b) Para analizar el crecimiento y el decrecimiento de la función $f(x)$, calculamos su derivada $f'(x) = 39x^{12} + 15x^{2}$: como todos los exponentes son pares, $f'(x)$ nunca es negativa y, por tanto, la función $f$ nunca decrece. En particular, no tiene ningún máximo ni mínimo. Por otra parte, la función, que es polinómica, no tiene asíntotas ni discontinuidades. En definitiva, su gráfica solo puede tener un único punto de corte con el eje de abscisas, que se encuentra, como hemos dicho, en el intervalo $[-1, -0{,}5]$.

Criterios de corrección:

• 0,25 p. por el cálculo de la derivada.
• 0,25 p. por deducir que se trata de una función creciente.
• 0,25 p. por decir que no tiene máximos ni mínimos.
• 0,5 p. por justificar que hay una única raíz.