Matemáticas IIFácil2,5 pts

Problema resuelto de Matemáticas II: ProbabilidadSelectividad (PAU) · Comunitat Valenciana 2023 · Junio

Enunciado

Cada fin de semana llegan al aeropuerto de Alicante 161 vuelos. De estos 161 vuelos, 95 proceden del territorio nacional, 50 proceden de la Unión Europea y 16 proceden de países de fuera de la Unión Europea. Sabiendo que el 5 % de los vuelos con procedencia nacional, el 4 % de los vuelos con procedencia de la Unión Europea y el 6,25 % del resto de vuelos se retrasan:

a) Calcular la probabilidad de que durante el fin de semana un vuelo se retrase. (5 puntos)

b) Sabiendo que un vuelo concreto se ha retrasado, calcular la probabilidad de que este vuelo proceda de la Unión Europea. (5 puntos)

Los resultados han de expresarse en forma de fracción o en forma decimal con cuatro decimales de aproximación.

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Resultado

P(R) = \dfrac{31}{644} \approx 0{,}0481

.

b)

P(E \mid R) = \dfrac{8}{31} \approx 0{,}2581

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

Es el esquema clásico de probabilidad total y Bayes. Se elige un vuelo al azar entre los 161: la procedencia (nacional, UE, fuera de la UE) es la primera rama del árbol, con probabilidades

\frac{95}{161}

\frac{50}{161}

\frac{16}{161}

; el retraso, la segunda, con los porcentajes del enunciado.

a) es la probabilidad total: se suman las tres ramas que acaban en "retraso".
b) es Bayes: la rama de la UE dividida entre el total de a).

Desarrollo

Sucesos.

N

: el vuelo es nacional;

E

: procede de la UE;

F

: procede de fuera de la UE;

R

: el vuelo se retrasa.

P(N) = \frac{95}{161}, \quad P(E) = \frac{50}{161}, \quad P(F) = \frac{16}{161}

P(R \mid N) = 0{,}05, \quad P(R \mid E) = 0{,}04, \quad P(R \mid F) = 0{,}0625

a) Probabilidad total.

N

E

F

forman un sistema completo de sucesos:

P(R) = P(N)\,P(R \mid N) + P(E)\,P(R \mid E) + P(F)\,P(R \mid F)

P(R) = \frac{95\cdot 0{,}05 + 50\cdot 0{,}04 + 16\cdot 0{,}0625}{161} = \frac{4{,}75 + 2 + 1}{161} = \frac{7{,}75}{161} = \frac{31}{644} \approx 0{,}0481

b) Teorema de Bayes.

P(E \mid R) = \frac{P(E)\,P(R \mid E)}{P(R)} = \frac{\dfrac{2}{161}}{\dfrac{7{,}75}{161}} = \frac{2}{7{,}75} = \frac{8}{31} \approx 0{,}2581

Consejo

Escribe los sucesos y el árbol antes de calcular: el corrector valora que se vea la probabilidad total y la fórmula de Bayes, no solo el número. Trabajar con "vuelos esperados" (4,75 + 2 + 1 de 161) acelera las cuentas, pero el resultado se da como probabilidad.

Respeta lo que pide el enunciado: fracción o cuatro decimales.

Paso 1 de 3

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