Matemáticas IIDifícil2,5 pts

Problema resuelto de Matemáticas II: ProbabilidadSelectividad (PAU) · Comunitat Valenciana 2023 · Junio

Enunciado

Tenemos dos monedas distintas

M_1

M_2

. La probabilidad de obtener cara al lanzar la moneda

M_1

x

y la probabilidad de obtener cara al lanzar la moneda

M_2

y

.

a) Si lanzamos las dos monedas al mismo tiempo, calcular las probabilidades de no obtener ninguna cara, de obtener solo una cara y de obtener dos caras. (3 puntos)

b) Después de lanzar las dos monedas, volvemos a lanzar solamente las monedas en las que no hemos obtenido cara. Calcular las probabilidades de que el resultado final haya sido obtener ninguna cara, obtener solo una cara y obtener dos caras. (7 puntos)

Comprobar el resultadocompara con lo que te ha salido

Resultado

a) Ninguna:

(1 - x)(1 - y)

. Una:

x(1 - y) + (1 - x)y

. Dos:

xy

.

b) Ninguna:

(1 - x)^2(1 - y)^2

. Una:

x(2 - x)(1 - y)^2 + y(2 - y)(1 - x)^2

. Dos:

xy(2 - x)(2 - y)

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

Los resultados de las dos monedas son independientes, así que la probabilidad de una combinación es el producto de las probabilidades de cada moneda.

En b) hay una idea que simplifica mucho: cada moneda va por libre. Una moneda que salió cara se queda cara; una que salió cruz se vuelve a lanzar. Así que cada moneda acaba en cara si sale cara a la primera, o cruz y luego cara:

P(M_1 \text{ acaba en cara}) = x + (1 - x)x = x(2 - x), \qquad P(M_1 \text{ acaba en cruz}) = (1 - x)^2

y lo mismo para

M_2

con

y

. Con estas probabilidades "finales" se repite la cuenta del apartado a). Haciendo el árbol completo (cuatro casos del primer lanzamiento) se llega a lo mismo.

Desarrollo

a) Llamamos

C_i

a "la moneda

M_i

sale cara" y

X_i

a "sale cruz". Por independencia:

Ninguna cara.

P(X_1 \cap X_2) = (1 - x)(1 - y)

Solo una cara. O sale cara

M_1

y cruz

M_2

, o al revés (sucesos incompatibles):

P(\text{una cara}) = x(1 - y) + (1 - x)y

Dos caras.

P(C_1 \cap C_2) = xy

Comprobación.

(1 - x)(1 - y) + x(1 - y) + (1 - x)y + xy = (1 - y) + y = 1

✓.

b) Resultado final de cada moneda. Para

M_1

: acaba en cruz solo si sale cruz las dos veces; en otro caso acaba en cara.

P(M_1 \text{ cruz final}) = (1 - x)^2, \qquad P(M_1 \text{ cara final}) = 1 - (1 - x)^2 = x(2 - x)

Análogamente,

P(M_2 \text{ cruz final}) = (1 - y)^2

P(M_2 \text{ cara final}) = y(2 - y)

. Las dos monedas siguen siendo independientes.

Ninguna cara.

P(\text{ninguna}) = (1 - x)^2(1 - y)^2

Solo una cara.

P(\text{una}) = x(2 - x)(1 - y)^2 + y(2 - y)(1 - x)^2

Dos caras.

P(\text{dos}) = x(2 - x)\,y(2 - y) = xy(2 - x)(2 - y)

Lo mismo con el árbol completo. Según el primer lanzamiento:

Dos caras (prob. $xy$ ): no se relanza nada, el final son dos caras.
Solo cara $M_1$ (prob. $x(1 - y)$ ): se relanza $M_2$ ; acaba en dos caras con prob. $y$ y en una con prob. $1 - y$ .
Solo cara $M_2$ (prob. $(1 - x)y$ ): se relanza $M_1$ ; dos caras con prob. $x$ , una con prob. $1 - x$ .
Ninguna cara (prob. $(1 - x)(1 - y)$ ): se relanzan las dos y vale el apartado a).

Sumando, por la probabilidad total:

P(\text{dos}) = xy + x(1 - y)y + (1 - x)yx + (1 - x)(1 - y)xy

P(\text{una}) = x(1 - y)^2 + (1 - x)^2 y + (1 - x)(1 - y)\big[x(1 - y) + (1 - x)y\big]

P(\text{ninguna}) = (1 - x)(1 - y)\cdot(1 - x)(1 - y) = (1 - x)^2(1 - y)^2

Sacando factor común,

P(\text{dos}) = xy\big[1 + (1 - y) + (1 - x) + (1 - x)(1 - y)\big] = xy(2 - x)(2 - y)

, y

P(\text{una}) = x(1 - y)^2\big[1 + (1 - x)\big] + y(1 - x)^2\big[1 + (1 - y)\big]

, que son las expresiones de antes.

Comprobación. Con

x = y = \tfrac{1}{2}

: cada moneda acaba en cara con prob.

\tfrac{3}{4}

, así que

P(\text{ninguna}) = \tfrac{1}{16}

P(\text{una}) = 2\cdot\tfrac{3}{4}\cdot\tfrac{1}{4} = \tfrac{6}{16}

P(\text{dos}) = \tfrac{9}{16}

, que suman 1 ✓.

Consejo

Piensa en cada moneda por separado: "acaba en cruz" solo si sale cruz las dos veces, $(1 - x)^2$ . Con eso, b) es el mismo cálculo que a) con otras probabilidades. Si prefieres el árbol, dibújalo entero: el corrector valora que no falte ninguna rama.

Comprueba siempre que las tres probabilidades suman 1, o pruébalo con $x = y = \tfrac{1}{2}$ .