Matemáticas IIMedio2,5 pts

OptimizaciónSelectividad (PAU) · Comunitat Valenciana 2023 · Junio

También trata: Integrales
Comunitat Valenciana · 2023 · Junio
Enunciado
El corte vertical de la entrada a la plaza amurallada de cierto pueblo tiene forma de parábola con ecuación y=−x2+12y = -x^2 + 12, donde xx e yy se miden en metros e y=0y = 0 representa el suelo. Se desea poner una puerta rectangular de modo que las dos esquinas superiores estén en la parábola y las inferiores en el suelo. El resto de la entrada va cerrado con piedra. Calcular:
Entrada en forma de arco parabólico: en el centro, una puerta rectangular apoyada en el suelo, con las esquinas superiores tocando la parábola; el resto del arco, a los lados y encima de la puerta, está relleno de piedra.
Entrada en forma de arco parabólico: en el centro, una puerta rectangular apoyada en el suelo, con las esquinas superiores tocando la parábola; el resto del arco, a los lados y encima de la puerta, está relleno de piedra.
a) Las dimensiones de la puerta para que tenga la mayor superficie posible. (6 puntos)

b) Utilizando la puerta del apartado anterior, obtener el área de la parte frontal de la puerta y el área de la parte frontal de la entrada recubierta por piedra. (4 puntos)
Comprobar el resultadocompara con lo que te ha salido
Resultado
a) La puerta de mayor superficie mide 4 m de ancho y 8 m de alto (esquinas superiores en (±2,8)(\pm 2, 8)).

b) Puerta: 32 m232\ \text{m}^2. Piedra: 323−32=32(3−1)≈23,43 m232\sqrt{3} - 32 = 32(\sqrt{3} - 1) \approx 23{,}43\ \text{m}^2 (de una entrada de 323≈55,43 m232\sqrt{3} \approx 55{,}43\ \text{m}^2).
Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo
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Estrategia

La parábola es simétrica respecto del eje OYOY, así que la puerta también lo será: si su esquina superior derecha está en (x,12−x2)(x, 12 - x^2), la puerta va de −x-x a xx. Entonces:
  • base =2x= 2x y altura =12−x2= 12 - x^2;
  • el área de la puerta es A(x)=2x(12−x2)A(x) = 2x(12 - x^2), que hay que maximizar con xx entre 00 y el punto donde la parábola corta el suelo, x=12x = \sqrt{12}.
En b), la piedra es lo que queda del arco al quitarle la puerta: área bajo la parábola (entre sus dos cortes con el suelo) menos el área de la puerta.
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Desarrollo

a) Dominio de la variable. La parábola corta el suelo donde −x2+12=0-x^2 + 12 = 0, es decir, en x=±12=±23x = \pm\sqrt{12} = \pm 2\sqrt{3}. La esquina derecha de la puerta tiene abscisa x∈(0,12)x \in (0, \sqrt{12}).

Función a optimizar.A(x)=2x⏟base⋅(12−x2)⏟altura=24x−2x3,0<x<12A(x) = \underbrace{2x}_{\text{base}}\cdot\underbrace{(12 - x^2)}_{\text{altura}} = 24x - 2x^3, \qquad 0 < x < \sqrt{12}Punto crítico.A′(x)=24−6x2=0  ⟹  x2=4  ⟹  x=2A'(x) = 24 - 6x^2 = 0 \;\Longrightarrow\; x^2 = 4 \;\Longrightarrow\; x = 2(la raíz x=−2x = -2 no está en el intervalo).

Es un máximo. A′′(x)=−12xA''(x) = -12x y A′′(2)=−24<0A''(2) = -24 < 0. Además, A′>0A' > 0 en (0,2)(0, 2) y A′<0A' < 0 en (2,12)(2, \sqrt{12}): es el máximo absoluto en el intervalo (en los extremos, A(0)=A(12)=0A(0) = A(\sqrt{12}) = 0).

Dimensiones.base=2⋅2=4 m,altura=12−22=8 m\text{base} = 2\cdot 2 = 4\ \text{m}, \qquad \text{altura} = 12 - 2^2 = 8\ \text{m}b) Área de la puerta.A(2)=4⋅8=32 m2A(2) = 4\cdot 8 = 32\ \text{m}^2Área de toda la entrada. Es el área bajo la parábola entre sus cortes con el suelo. Por simetría (la función es par):∫−1212(12−x2) dx=2∫012(12−x2) dx=2[12x−x33]012=2(1212−12123)=1612=323 m2\int_{-\sqrt{12}}^{\sqrt{12}} (12 - x^2)\,dx = 2\int_0^{\sqrt{12}} (12 - x^2)\,dx = 2\left[12x - \frac{x^3}{3}\right]_0^{\sqrt{12}} = 2\left(12\sqrt{12} - \frac{12\sqrt{12}}{3}\right) = 16\sqrt{12} = 32\sqrt{3}\ \text{m}^2(323≈55,43 m232\sqrt{3} \approx 55{,}43\ \text{m}^2.)

Área de la piedra.Apiedra=323−32=32(3−1)≈23,43 m2A_{\text{piedra}} = 32\sqrt{3} - 32 = 32\big(\sqrt{3} - 1\big) \approx 23{,}43\ \text{m}^2
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Consejo

El error más frecuente es tomar como base xx en lugar de 2x2x: la esquina (x,12−x2)(x, 12 - x^2) es solo la de la derecha. Dibuja la puerta y marca las dos esquinas antes de escribir A(x)A(x).

Justifica que es un máximo (con A′′A'' o con el signo de A′A') y da el intervalo de xx: el corrector puntúa las dos cosas. En b), no olvides restar la puerta.
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