Dada la recta r: \begin{cases} 5x + y + 7z = 16 \\ 9x - y + 7z = 12 \end{cases} y el punto P = (0, 5, 2) se pide: a) Comprobar que el punto Q = (2, 6, 0) pertenece a la recta r y encontrar la recta s que pasa por los puntos P y Q. (2 puntos) b) Obtener el ángulo que forman la recta r y la recta s. (3 puntos) c) Obtener la proyección ortogonal del punto P en la recta r. (5 puntos)

Matemáticas IIMedio2,5 pts

Problema resuelto de Matemáticas II: Áreas, volúmenes y distanciasSelectividad (PAU) · Comunitat Valenciana 2023 · Junio

También trata: Vectores y ángulos · Rectas y planos

Enunciado

Dada la recta

r: \begin{cases} 5x + y + 7z = 16 \\ 9x - y + 7z = 12 \end{cases}

y el punto

P = (0, 5, 2)

se pide:

a) Comprobar que el punto

Q = (2, 6, 0)

pertenece a la recta

r

y encontrar la recta

s

que pasa por los puntos

P

Q

. (2 puntos)

b) Obtener el ángulo que forman la recta

r

y la recta

s

. (3 puntos)

c) Obtener la proyección ortogonal del punto

P

en la recta

r

. (5 puntos)

Comprobar el resultadocompara con lo que te ha salido

Resultado

Q

cumple las dos ecuaciones de

r

;

s: (x, y, z) = (0, 5, 2) + \lambda(2, 1, -2)

.

b)

\theta = \arccos\sqrt{2/3} \approx 35{,}26^\circ

.

c) La proyección ortogonal de

P

sobre

r

H = (1, 4, 1)

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

Todo gira alrededor del vector director de $r$ , que sale del producto vectorial de los normales de sus dos planos. Con él y el punto

Q

(que es de

r

) escribimos

r

en paramétricas, que es la forma cómoda para lo demás.

En b), el ángulo entre dos rectas es el ángulo agudo entre sus directores: coseno con el valor absoluto del producto escalar.
En c), la proyección de $P$ sobre $r$ es el punto $H$ de $r$ tal que $\overrightarrow{PH}$ es perpendicular al director de $r$ . Se toma un punto genérico de $r$ y se impone que el producto escalar sea cero.

Desarrollo

a) $Q$ pertenece a $r$ . Sustituimos

Q = (2, 6, 0)

en las dos ecuaciones:

5\cdot 2 + 6 + 7\cdot 0 = 16 \ ✓ \qquad 9\cdot 2 - 6 + 7\cdot 0 = 12 \ ✓

Recta $s$ . Su director es

\overrightarrow{PQ} = (2, 6, 0) - (0, 5, 2) = (2, 1, -2)

, y pasa por

P

s: (x, y, z) = (0, 5, 2) + \lambda\,(2, 1, -2), \quad \lambda \in \mathbb{R}

b) Director de $r$ . Con los normales

\vec n_1 = (5, 1, 7)

\vec n_2 = (9, -1, 7)

\vec n_1 \times \vec n_2 = \begin{vmatrix} \vec i & \vec j & \vec k \\ 5 & 1 & 7 \\ 9 & -1 & 7 \end{vmatrix} = \big(1\cdot 7 - 7\cdot(-1),\; 7\cdot 9 - 5\cdot 7,\; 5\cdot(-1) - 1\cdot 9\big) = (14, 28, -14)

Tomamos el proporcional

\vec u_r = (1, 2, -1)

.

Ángulo entre las rectas. Con

\vec u_s = (2, 1, -2)

\cos\theta = \frac{|\vec u_r\cdot\vec u_s|}{|\vec u_r|\,|\vec u_s|} = \frac{|2 + 2 + 2|}{\sqrt{1 + 4 + 1}\,\sqrt{4 + 1 + 4}} = \frac{6}{3\sqrt{6}} = \frac{2}{\sqrt{6}} = \sqrt{\frac{2}{3}}

\theta = \arccos\sqrt{\frac{2}{3}} \approx 35{,}26^\circ

c) Paramétricas de $r$ . Por

Q

y con director

\vec u_r

r: (x, y, z) = (2 + t,\; 6 + 2t,\; -t), \quad t \in \mathbb{R}

Condición de perpendicularidad. Para un punto genérico

H_t = (2 + t, 6 + 2t, -t)

r

\overrightarrow{PH_t} = (2 + t,\; 1 + 2t,\; -2 - t)

Imponemos

\overrightarrow{PH_t}\cdot\vec u_r = 0

(2 + t) + 2(1 + 2t) - (-2 - t) = 0 \;\Longrightarrow\; 6 + 6t = 0 \;\Longrightarrow\; t = -1

Proyección.

H = (2 - 1,\; 6 - 2,\; 1) = (1, 4, 1)

Comprobación.

H

está en

r

5 + 4 + 7 = 16

✓ y

9 - 4 + 7 = 12

✓. Y

\overrightarrow{PH} = (1, -1, -1)

cumple

(1, -1, -1)\cdot(1, 2, -1) = 1 - 2 + 1 = 0

✓.

Consejo

El ángulo entre dos rectas se da siempre entre $0^\circ$ y $90^\circ$ : pon el valor absoluto en el producto escalar. Simplificar el director de $r$ a $(1, 2, -1)$ no cambia el ángulo y te ahorra cuentas.

En la proyección, comprueba las dos cosas: que $H$ está en $r$ y que $\overrightarrow{PH}$ es perpendicular a $r$ . Si falla una, el error está en el planteamiento, no en las cuentas.