Matemáticas IIFácil2,5 pts

Rectas y planosSelectividad (PAU) · Comunitat Valenciana 2023 · Junio

Comunitat Valenciana · 2023 · Junio
Enunciado
Dada la recta r:{x−y=1x+2y+z=0r: \begin{cases} x - y = 1 \\ x + 2y + z = 0 \end{cases} y los puntos P=(0,0,3)P = (0, 0, 3) y Q=(2,2,a)Q = (2, 2, a), obtener:

a) Los valores del parámetro real aa, si existen, para los que son paralelas la recta rr y la recta que pasa por los puntos PP y QQ. (6 puntos)

b) La ecuación del plano perpendicular a rr y que pasa por PP. (4 puntos)
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Resultado
a) u⃗r=(−1,−1,3)\vec u_r = (-1, -1, 3) y PQ→=(2,2,a−3)\overrightarrow{PQ} = (2, 2, a - 3): las rectas son paralelas si y solo si a=−3a = -3.

b) π:x+y−3z+9=0\pi: x + y - 3z + 9 = 0 (equivalente a −x−y+3z−9=0-x - y + 3z - 9 = 0).
Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo
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Estrategia

La recta rr viene como corte de dos planos: su vector director es perpendicular a los dos normales, así que sale de su producto vectorial. La recta PQPQ tiene director PQ→\overrightarrow{PQ}, que depende de aa.

Dos rectas son paralelas cuando sus directores son proporcionales y, además, no son la misma recta (basta ver que PP no está en rr).

En b), el plano perpendicular a rr tiene como vector normal el director de rr; con el punto PP queda fijado.
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Desarrollo

a) Vector director de rr. Los normales de los dos planos son n⃗1=(1,−1,0)\vec n_1 = (1, -1, 0) y n⃗2=(1,2,1)\vec n_2 = (1, 2, 1):u⃗r=n⃗1×n⃗2=∣i⃗j⃗k⃗1−10121∣=((−1)⋅1−0⋅2,  0⋅1−1⋅1,  1⋅2−(−1)⋅1)=(−1,−1,3)\vec u_r = \vec n_1 \times \vec n_2 = \begin{vmatrix} \vec i & \vec j & \vec k \\ 1 & -1 & 0 \\ 1 & 2 & 1 \end{vmatrix} = \big((-1)\cdot 1 - 0\cdot 2,\; 0\cdot 1 - 1\cdot 1,\; 1\cdot 2 - (-1)\cdot 1\big) = (-1, -1, 3)Vector director de la recta PQPQ.PQ→=(2,2,a)−(0,0,3)=(2,2,a−3)\overrightarrow{PQ} = (2, 2, a) - (0, 0, 3) = (2, 2, a - 3)Condición de paralelismo. Los directores han de ser proporcionales:2−1=2−1=a−33  ⟹  a−3=−6  ⟹  a=−3\frac{2}{-1} = \frac{2}{-1} = \frac{a - 3}{3} \;\Longrightarrow\; a - 3 = -6 \;\Longrightarrow\; a = -3Las dos primeras coordenadas ya son proporcionales (razón −2-2), así que solo hay un valor de aa.

No son la misma recta. P=(0,0,3)P = (0, 0, 3) no está en rr, porque en la primera ecuación 0−0=0≠10 - 0 = 0 \neq 1. Así que con a=−3a = -3 las rectas son paralelas y distintas.

b) Vector normal del plano. Si el plano es perpendicular a rr, su normal es u⃗r=(−1,−1,3)\vec u_r = (-1, -1, 3):π:−x−y+3z+D=0\pi: -x - y + 3z + D = 0Por el punto PP. −0−0+3⋅3+D=0⇒D=−9-0 - 0 + 3\cdot 3 + D = 0 \Rightarrow D = -9:π:−x−y+3z−9=0⟺π:x+y−3z+9=0\pi: -x - y + 3z - 9 = 0 \qquad \Longleftrightarrow \qquad \pi: x + y - 3z + 9 = 0Comprobación. PP: 0+0−9+9=00 + 0 - 9 + 9 = 0 ✓.
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Consejo

Para que dos rectas sean paralelas no basta con que los directores sean proporcionales: si además tienen un punto común, son coincidentes. Una línea comprobando que P∉rP \notin r completa la respuesta y el corrector lo agradece.

Revisa el producto vectorial con un producto escalar: (−1,−1,3)⋅(1,−1,0)=0(-1, -1, 3)\cdot(1, -1, 0) = 0 y (−1,−1,3)⋅(1,2,1)=0(-1, -1, 3)\cdot(1, 2, 1) = 0. Si no da cero, hay un error de signo.
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