Matemáticas IIFácil2,5 pts

Problema resuelto de Matemáticas II: MatricesSelectividad (PAU) · Comunitat Valenciana 2023 · Junio

Enunciado

Dadas las matrices

A = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \end{pmatrix}

B = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 2 & -1 & 0 \end{pmatrix}

C = \begin{pmatrix} 0 & \alpha \\ -\alpha^2 & 0 \end{pmatrix}

:

a) Obtener la matriz

(AB^T + I)^{-1}

, donde

I

es la matriz identidad de las dimensiones adecuadas para realizar la operación. (6 puntos)

b) Comprobar que

C^2 = -\alpha^3 I

, donde

I

es la matriz identidad, y calcular

C^{13}

. (4 puntos)

Comprobar el resultadocompara con lo que te ha salido

Resultado

(AB^T + I)^{-1} = \begin{pmatrix} 0 & \tfrac{1}{2} \\ \tfrac{1}{2} & -\tfrac{3}{4} \end{pmatrix}

(con

AB^T + I = \begin{pmatrix} 3 & 2 \\ 2 & 0 \end{pmatrix}

).

b)

C^2 = -\alpha^3 I

C^{13} = \alpha^{18}C = \begin{pmatrix} 0 & \alpha^{19} \\ -\alpha^{20} & 0 \end{pmatrix}

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

En a), lo primero es ver las dimensiones:

A

2\times 3

B^T

3\times 2

, así que

AB^T

2\times 2

y la identidad que se suma es la de orden 2. Luego se invierte una matriz

2\times 2

con la fórmula de los adjuntos.

En b), una vez visto que

C^2

es un múltiplo de la identidad, las potencias son fáciles: se agrupan de dos en dos,

C^{13} = (C^2)^6\,C

, y

(kI)^6 = k^6 I

Desarrollo

a) Traspuesta de $B$ .

B^T = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 1 & -1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}

Producto $AB^T$ (

2\times 3

por

3\times 2

, sale

2\times 2

AB^T = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 1 & -1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 + 0 + 1 & 2 + 0 + 0 \\ 0 + 1 + 1 & 0 - 1 + 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 & 2 \\ 2 & -1 \end{pmatrix}

Sumamos la identidad de orden 2.

M = AB^T + I = \begin{pmatrix} 3 & 2 \\ 2 & 0 \end{pmatrix}

Determinante.

|M| = 3\cdot 0 - 2\cdot 2 = -4 \neq 0

, así que

M

es invertible.

Inversa. Para una

2\times 2

\begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}^{-1} = \dfrac{1}{ad - bc}\begin{pmatrix} d & -b \\ -c & a \end{pmatrix}

M^{-1} = \frac{1}{-4}\begin{pmatrix} 0 & -2 \\ -2 & 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & \tfrac{1}{2} \\ \tfrac{1}{2} & -\tfrac{3}{4} \end{pmatrix}

Comprobación.

M\,M^{-1} = \begin{pmatrix} 3 & 2 \\ 2 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 0 & \tfrac{1}{2} \\ \tfrac{1}{2} & -\tfrac{3}{4} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 + 1 & \tfrac{3}{2} - \tfrac{3}{2} \\ 0 + 0 & 1 + 0 \end{pmatrix} = I \ ✓

b) Cuadrado de $C$ .

C^2 = \begin{pmatrix} 0 & \alpha \\ -\alpha^2 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 0 & \alpha \\ -\alpha^2 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 - \alpha^3 & 0 + 0 \\ 0 + 0 & -\alpha^3 + 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -\alpha^3 & 0 \\ 0 & -\alpha^3 \end{pmatrix} = -\alpha^3 I \ ✓

Potencia 13. Como

13 = 2\cdot 6 + 1

C^{13} = (C^2)^6\,C = (-\alpha^3 I)^6\,C = (-\alpha^3)^6\,I\,C = \alpha^{18}\,C

(el exponente 6 es par, así que el signo desaparece). Por tanto,

C^{13} = \alpha^{18}\begin{pmatrix} 0 & \alpha \\ -\alpha^2 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & \alpha^{19} \\ -\alpha^{20} & 0 \end{pmatrix}

Consejo

Antes de multiplicar, escribe las dimensiones: $(2\times 3)(3\times 2) = 2\times 2$ . Así sabes qué identidad sumar y no te pierdes. Y comprueba la inversa multiplicando: cuesta medio minuto y evita perder casi toda la puntuación del apartado por un signo.

En las potencias, cuidado con el signo de $(-\alpha^3)^6$ : exponente par, resultado positivo.