Matemáticas IIMedio2,5 pts

Problema resuelto de Matemáticas II: MatricesSelectividad (PAU) · Comunitat Valenciana 2023 · Junio

También trata: Determinantes

Enunciado

Dadas las matrices

A = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 0 \\ 0 & m & 1 \\ 0 & 3 & 0 \end{pmatrix}

X = \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix}

B = \begin{pmatrix} m \\ 0 \\ 9 \end{pmatrix}

:

a) Estudiar cuándo la ecuación matricial

A^2X = B

tiene solución en función del parámetro real

m

. (4 puntos)

b) Encontrar todas las soluciones de la ecuación anterior cuando éstas existan. (6 puntos)

Comprobar el resultadocompara con lo que te ha salido

Resultado

|A^2| = |A|^2 = 9 \neq 0

para todo

m

: la ecuación tiene siempre solución, y es única.

b)

X = \begin{pmatrix} 3m - 6 \\ -m \\ m^2 + 3 \end{pmatrix}

para cada

m \in \mathbb{R}

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

Como

X

es un vector columna,

A^2X = B

es un sistema de tres ecuaciones lineales con matriz de coeficientes

A^2

. Si

|A^2| \neq 0

, el sistema es compatible determinado: tiene una única solución,

X = (A^2)^{-1}B

.

No hace falta desarrollar

A^2

para saber su determinante:

|A^2| = |A|^2

. Si sale distinto de cero para todo

m

, la discusión termina ahí.

Para resolverlo, en vez de invertir

A^2

(que lleva

m

por todas partes), es más cómodo calcular

A^2

y resolver el sistema por sustitución: la tercera ecuación da

z

en función de

y

y todo cae en cadena.

Desarrollo

a) Determinante de $A$ . Desarrollando por la primera columna:

|A| = \begin{vmatrix} 1 & 2 & 0 \\ 0 & m & 1 \\ 0 & 3 & 0 \end{vmatrix} = 1\cdot\begin{vmatrix} m & 1 \\ 3 & 0 \end{vmatrix} = 1\cdot(0 - 3) = -3

No depende de

m

.

Determinante de $A^2$ . Por la propiedad

|AB| = |A|\,|B|

|A^2| = |A|^2 = (-3)^2 = 9 \neq 0

Conclusión.

A^2

es invertible para cualquier

m

, así que el sistema

A^2X = B

es compatible determinado (rango de

A^2

= rango de la ampliada = 3 = número de incógnitas): tiene solución única para todo $m \in \mathbb{R}$ .

b) Cálculo de $A^2$ .

A^2 = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 0 \\ 0 & m & 1 \\ 0 & 3 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1 & 2 & 0 \\ 0 & m & 1 \\ 0 & 3 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 2 + 2m & 2 \\ 0 & m^2 + 3 & m \\ 0 & 3m & 3 \end{pmatrix}

(Comprobación:

|A^2| = 1\cdot\big(3(m^2+3) - 3m\cdot m\big) = 9

✓.)

El sistema.

A^2X = B

se escribe

\begin{cases} x + (2 + 2m)\,y + 2z = m \\ (m^2 + 3)\,y + m z = 0 \\ 3m y + 3z = 9 \end{cases}

Tercera ecuación. Dividiendo entre 3:

m y + z = 3

, es decir,

z = 3 - m y

.

Segunda ecuación. Sustituyendo

z

(m^2 + 3)\,y + m(3 - m y) = 0 \;\Longrightarrow\; 3y + 3m = 0 \;\Longrightarrow\; y = -m

Y entonces

z = 3 - m(-m) = 3 + m^2

.

Primera ecuación.

x = m - (2 + 2m)(-m) - 2(3 + m^2) = m + 2m + 2m^2 - 6 - 2m^2 = 3m - 6

Solución.

X = \begin{pmatrix} 3m - 6 \\ -m \\ m^2 + 3 \end{pmatrix}

Comprobación (con

m = 0

A = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 3 & 0 \end{pmatrix}

X = (-6, 0, 3)

. Entonces

AX = (-6, 3, 0)

A(AX) = (-6 + 6,\; 0,\; 9) = (0, 0, 9) = B

✓.

Consejo

Usa $|A^2| = |A|^2$ : con un determinante de $3\times 3$ sencillo te ahorras desarrollar el de $A^2$ , que lleva $m$ en casi todas las casillas. Y como $|A| = -3$ no depende de $m$ , la "discusión" se acaba en una línea: no busques casos que no existen.

En b) el corrector valora la solución general en función de $m$ . Si te equivocas, una comprobación con un valor concreto de $m$ (por ejemplo $m = 0$ ) te lo descubre enseguida.