Matemáticas IIFácil2,5 pts

Problema resuelto de Matemáticas II: ProbabilidadSelectividad (PAU) · Comunitat Valenciana 2023 · Julio

Enunciado

Una empresa tiene dos plantas de producción de teléfonos móviles. La primera planta produce móviles defectuosos con probabilidad 0,02 y la segunda planta con probabilidad 0,06. Al comprar un móvil de esa empresa, la probabilidad de que sea de la primera planta es de 0,7. Compramos un móvil. Se pide determinar:

a) La probabilidad de que proceda de la segunda planta de producción y sea defectuoso. (4 puntos)

b) Sabiendo que el móvil comprado es defectuoso, la probabilidad de que lo haya fabricado la primera planta de producción. (6 puntos)

Los resultados han de expresarse en forma de fracción o en forma decimal con cuatro decimales de aproximación.

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Resultado

P(P_2 \cap D) = \dfrac{9}{500} = 0{,}0180

.

b)

P(P_1 \mid D) = \dfrac{7}{16} = 0{,}4375

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

Es un problema de diagrama de árbol: primera rama, la planta (

P_1

P_2

); segunda, si el móvil es defectuoso (

D

) o no.

En a) piden una intersección, «de la segunda planta y defectuoso»: se multiplica a lo largo de una rama.
En b) la información va al revés (sabemos que es defectuoso y preguntamos la planta): es el teorema de Bayes, que necesita antes $P(D)$ por el teorema de la probabilidad total.

Desarrollo

Datos.

P(P_1) = 0{,}7, \quad P(P_2) = 1 - 0{,}7 = 0{,}3, \quad P(D \mid P_1) = 0{,}02, \quad P(D \mid P_2) = 0{,}06

a) Intersección. Multiplicando por la rama

P_2 \to D

P(P_2 \cap D) = P(P_2)\,P(D \mid P_2) = 0{,}3 \cdot 0{,}06 = 0{,}018 = \frac{9}{500}

b) Probabilidad total de ser defectuoso.

P(D) = P(P_1)\,P(D \mid P_1) + P(P_2)\,P(D \mid P_2) = 0{,}7\cdot 0{,}02 + 0{,}018 = 0{,}014 + 0{,}018 = 0{,}032

Teorema de Bayes.

P(P_1 \mid D) = \frac{P(P_1)\,P(D \mid P_1)}{P(D)} = \frac{0{,}014}{0{,}032} = \frac{7}{16} = 0{,}4375

Comprobación.

P(P_2 \mid D) = \frac{0{,}018}{0{,}032} = \frac{9}{16}

, y

\frac{7}{16} + \frac{9}{16} = 1

✓. Aunque la primera planta fabrica el 70 % de los móviles, entre los defectuosos es minoría porque falla tres veces menos.

Consejo

Distingue «de la segunda planta y defectuoso» ( $P(P_2 \cap D)$ , una rama del árbol) de «defectuoso sabiendo que es de la segunda» ( $P(D \mid P_2) = 0{,}06$ , que ya es un dato).

Dibuja el árbol con sus probabilidades y escribe las fórmulas de la probabilidad total y de Bayes antes de sustituir: el corrector reparte puntos por el planteamiento.