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Problema resuelto de Matemáticas II: ProbabilidadSelectividad (PAU) · Comunitat Valenciana 2023 · Julio

Enunciado

Una urna tiene tres bolas verdes, cuatro rojas y cinco amarillas. Todas de igual tamaño.

a) Se extrae una bola de la urna, se mira su color y se devuelve a la urna. Se repite de nuevo, una vez más, esta operación. ¿Cuál es la probabilidad de que los colores de las dos bolas extraídas sean el mismo? ¿Y la probabilidad de que sean distintos? (5 puntos)

b) Se extraen al mismo tiempo tres bolas. ¿Cuál es la probabilidad de que las tres sean de distinto color? (5 puntos)

Los resultados han de expresarse en forma de fracción o en forma decimal con cuatro decimales de aproximación.

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Resultado

P(\text{mismo color}) = \dfrac{25}{72} \approx 0{,}3472

;

P(\text{distinto color}) = \dfrac{47}{72} \approx 0{,}6528

.

b)

P(\text{tres colores distintos}) = \dfrac{3}{11} \approx 0{,}2727

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

Hay 12 bolas: 3 verdes (

V

), 4 rojas (

R

) y 5 amarillas (

Am

En a) la bola se devuelve: las dos extracciones son independientes y en las dos la urna es la misma. «Mismo color» es la unión de tres casos incompatibles ( $VV$ , $RR$ , $Am\,Am$ ); «distinto color» es su contrario.
En b) las tres bolas salen a la vez, es decir, sin reemplazamiento. Se puede contar con combinaciones (casos favorables entre casos posibles, regla de Laplace) o encadenar extracciones sucesivas multiplicando por los órdenes posibles.

Desarrollo

a) Mismo color. Cada extracción tiene

P(V) = \frac{3}{12}

P(R) = \frac{4}{12}

P(Am) = \frac{5}{12}

, y son independientes:

P(\text{mismo}) = P(VV) + P(RR) + P(Am\,Am) = \left(\frac{3}{12}\right)^2 + \left(\frac{4}{12}\right)^2 + \left(\frac{5}{12}\right)^2 = \frac{9 + 16 + 25}{144} = \frac{50}{144} = \frac{25}{72} \approx 0{,}3472

Distinto color. Es el suceso contrario:

P(\text{distinto}) = 1 - \frac{25}{72} = \frac{47}{72} \approx 0{,}6528

b) Casos posibles. Elegir 3 bolas de 12 sin importar el orden:

\binom{12}{3} = \frac{12\cdot 11\cdot 10}{3!} = 220

Casos favorables. Una de cada color:

3\cdot 4\cdot 5 = 60

maneras.

Regla de Laplace.

P(\text{tres colores distintos}) = \frac{60}{220} = \frac{3}{11} \approx 0{,}2727

Comprobación por extracciones sucesivas. Una ordenación concreta, por ejemplo

V

, luego

R

, luego

Am

\frac{3}{12}\cdot\frac{4}{11}\cdot\frac{5}{10} = \frac{60}{1320}

. Hay

3! = 6

órdenes posibles de los tres colores, todos con la misma probabilidad:

6\cdot\frac{3\cdot 4\cdot 5}{12\cdot 11\cdot 10} = \frac{360}{1320} = \frac{3}{11}\ ✓

Consejo

Lee bien si hay devolución: con ella las extracciones son independientes y la urna no cambia; sin ella (o «a la vez»), los denominadores bajan: 12, 11, 10.

En b), si lo haces con extracciones sucesivas no olvides multiplicar por los $3! = 6$ órdenes de los colores: es el fallo típico y da $\frac{1}{22}$ en vez de $\frac{3}{11}$ . Y redondea bien a cuatro decimales: $0{,}27\overline{27}$ es $0{,}2727$ .