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OptimizaciónSelectividad (PAU) · Comunitat Valenciana 2023 · Julio

Comunitat Valenciana · 2023 · Julio
Enunciado
Una ventana rectangular está coronada por un semicírculo tal y como se indica en la siguiente figura.
Ventana formada por un rectángulo vertical con un semicírculo encima, apoyado sobre su lado superior; el diámetro del semicírculo es la anchura del rectángulo.
Ventana formada por un rectángulo vertical con un semicírculo encima, apoyado sobre su lado superior; el diámetro del semicírculo es la anchura del rectángulo.
Sabiendo que el perímetro de la ventana es de 20 metros:

a) Calcular el área de la ventana en función de su anchura xx. (3 puntos)

b) Calcular las dimensiones que ha de tener la ventana para que permita la máxima entrada de luz. (5 puntos)

c) Calcular el valor de dicha área máxima. (2 puntos)
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Resultado
a) S(x)=10x−(12+π8)x2S(x) = 10x - \left(\dfrac12 + \dfrac{\pi}{8}\right)x^2 m², con 0<x<402+π0 < x < \dfrac{40}{2+\pi}.

b) Anchura x=404+π≈5,601x = \dfrac{40}{4+\pi} \approx 5{,}601 m; altura del rectángulo y=204+π≈2,8005y = \dfrac{20}{4+\pi} \approx 2{,}8005 m (radio del semicírculo, también ≈2,8005\approx 2{,}8005 m).

c) Smaˊx=2004+π≈28,005S_{\text{máx}} = \dfrac{200}{4+\pi} \approx 28{,}005 m².
Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo
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Estrategia

Es el clásico problema de la ventana normanda. Llamamos xx a la anchura y yy a la altura de la parte rectangular; el semicírculo tiene diámetro xx, o sea, radio x2\frac{x}{2}.
  • El perímetro es el contorno exterior: la base, los dos lados verticales y el arco. El lado superior del rectángulo queda dentro y no cuenta. Esa condición permite despejar yy en función de xx.
  • El área es la del rectángulo más la del semicírculo; sustituyendo yy queda una parábola en xx.
  • «Máxima entrada de luz» significa área máxima: se deriva, se iguala a cero y se comprueba que es un máximo.
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Desarrollo

a) Condición del perímetro. El arco es media circunferencia de radio x2\frac{x}{2}, de longitud π⋅x2\pi\cdot\frac{x}{2}:x+2y+πx2=20  ⟹  y=10−x2−πx4x + 2y + \frac{\pi x}{2} = 20 \;\Longrightarrow\; y = 10 - \frac{x}{2} - \frac{\pi x}{4}Área. Rectángulo más semicírculo:S=xy+12π(x2)2=x(10−x2−πx4)+πx28S = xy + \frac{1}{2}\pi\left(\frac{x}{2}\right)^2 = x\left(10 - \frac{x}{2} - \frac{\pi x}{4}\right) + \frac{\pi x^2}{8}S(x)=10x−(12+π8)x2=10x−4+π8 x2S(x) = 10x - \left(\frac{1}{2} + \frac{\pi}{8}\right)x^2 = 10x - \frac{4 + \pi}{8}\,x^2Dominio. Las medidas deben ser positivas: x>0x > 0 y y>0y > 0, es decir, x(12+π4)<10x\left(\frac12 + \frac{\pi}{4}\right) < 10, o sea 0<x<402+π≈7,780 < x < \dfrac{40}{2 + \pi} \approx 7{,}78 m.

b) Punto crítico.S′(x)=10−4+π4 x=0  ⟹  x=404+π≈5,6010 mS'(x) = 10 - \frac{4 + \pi}{4}\,x = 0 \;\Longrightarrow\; x = \frac{40}{4 + \pi} \approx 5{,}6010\ \text{m}que está dentro del dominio.

Es un máximo. S′′(x)=−4+π4<0S''(x) = -\dfrac{4 + \pi}{4} < 0 para todo xx. (También: SS es una parábola hacia abajo y este es su vértice.)

Altura del rectángulo.y=10−x 2+π4=10−404+π⋅2+π4=10(4+π)−10(2+π)4+π=204+π≈2,8005 my = 10 - x\,\frac{2 + \pi}{4} = 10 - \frac{40}{4 + \pi}\cdot\frac{2 + \pi}{4} = \frac{10(4 + \pi) - 10(2 + \pi)}{4 + \pi} = \frac{20}{4 + \pi} \approx 2{,}8005\ \text{m}Curiosamente, la altura del rectángulo es la mitad de la anchura, y=x2y = \frac{x}{2}: igual que el radio del semicírculo.

c) Área máxima.S ⁣(404+π)=4004+π−4+π8⋅1600(4+π)2=4004+π−2004+π=2004+π≈28,005 m2S\!\left(\frac{40}{4 + \pi}\right) = \frac{400}{4 + \pi} - \frac{4 + \pi}{8}\cdot\frac{1600}{(4 + \pi)^2} = \frac{400}{4 + \pi} - \frac{200}{4 + \pi} = \frac{200}{4 + \pi} \approx 28{,}005\ \text{m}^2Comprobación del perímetro. x+2y+πx2=40+40+20π4+π=20(4+π)4+π=20x + 2y + \frac{\pi x}{2} = \frac{40 + 40 + 20\pi}{4 + \pi} = \frac{20(4 + \pi)}{4 + \pi} = 20 ✓.
3

Consejo

El error más frecuente es contar en el perímetro el lado superior del rectángulo: ese segmento está por dentro de la ventana. Haz el dibujo y repasa el contorno con el dedo.

Justifica que el punto crítico es un máximo (segunda derivada o signo de S′S'): sin esa línea, el apartado b) no está completo. Y di qué representa cada letra al dar las dimensiones.
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