Matemáticas IIFácil2,5 pts

Problema resuelto de Matemáticas II: Derivadas y aplicacionesSelectividad (PAU) · Comunitat Valenciana 2023 · Julio

También trata: Integrales · Límites y continuidad

Enunciado

Consideramos la función

f(x) = \dfrac{-2x^2 + x + 1}{2x^2 + 5x + 2}

.

a) Comprobar que

x = -\frac{1}{2}

es una discontinuidad evitable. (2 puntos)

b) Calcular los intervalos de crecimiento y decrecimiento. (4 puntos)

c) Obtener

\displaystyle\int f(x)\,dx

. (4 puntos)

Comprobar el resultadocompara con lo que te ha salido

Resultado

f(x) = \dfrac{(2x+1)(1-x)}{(2x+1)(x+2)}

;

f(-\frac12)

no existe y

\lim_{x \to -1/2} f(x) = 1

: discontinuidad evitable.

b)

f'(x) = \dfrac{-3}{(x+2)^2} < 0

: decreciente en

(-\infty, -2)

, en

(-2, -\frac12)

y en

(-\frac12, +\infty)

; nunca creciente.

c)

\displaystyle\int f(x)\,dx = -x + 3\ln|x + 2| + C

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

La clave de todo el problema es factorizar numerador y denominador: los dos se anulan en

x = -\frac12

, así que comparten el factor

(2x + 1)

En a), al simplificar ese factor el límite en $-\frac12$ existe y es finito, pero $f$ no está definida allí: discontinuidad evitable.
En b) y c) se trabaja con la función simplificada, mucho más sencilla, sin olvidar que el dominio sigue excluyendo $x = -2$ y $x = -\frac12$ .
La integral, tras dividir, es inmediata: una constante más un logaritmo.

Desarrollo

a) Factorización. Las raíces del numerador

-2x^2 + x + 1

son

x = 1

x = -\frac12

; las del denominador

2x^2 + 5x + 2

x = -2

x = -\frac12

-2x^2 + x + 1 = (2x + 1)(1 - x), \qquad 2x^2 + 5x + 2 = (2x + 1)(x + 2)

Dominio.

\operatorname{Dom} f = \mathbb{R} \setminus \{-2, -\frac12\}

. En particular,

f(-\frac12)

no existe.

Límite en $x = -\frac12$ . Es una indeterminación

\frac00

que se resuelve simplificando:

\lim_{x \to -1/2} \frac{(2x + 1)(1 - x)}{(2x + 1)(x + 2)} = \lim_{x \to -1/2} \frac{1 - x}{x + 2} = \frac{3/2}{3/2} = 1

El límite existe y es finito, pero la función no está definida en el punto: discontinuidad evitable (se evitaría definiendo

f(-\frac12) = 1

).

b) Derivada. Para

x \neq -2, -\frac12

f(x) = \dfrac{1 - x}{x + 2}

f'(x) = \frac{(-1)(x + 2) - (1 - x)\cdot 1}{(x + 2)^2} = \frac{-x - 2 - 1 + x}{(x + 2)^2} = \frac{-3}{(x + 2)^2}

Signo. El numerador es

-3 < 0

y el denominador es un cuadrado, positivo en todo el dominio. Luego

f'(x) < 0

en todo el dominio:

f

no crece en ningún intervalo y es decreciente en cada uno de los intervalos

(-\infty, -2), \qquad \left(-2, -\tfrac12\right), \qquad \left(-\tfrac12, +\infty\right)

No tiene extremos relativos.

c) División.

\dfrac{1 - x}{x + 2} = \dfrac{-(x + 2) + 3}{x + 2} = -1 + \dfrac{3}{x + 2}

.

Integral.

\int f(x)\,dx = \int\left(-1 + \frac{3}{x + 2}\right)dx = -x + 3\ln|x + 2| + C

Comprobación. Derivando:

-1 + \dfrac{3}{x + 2} = \dfrac{1 - x}{x + 2}

✓.

Consejo

Para «comprobar» que la discontinuidad es evitable hay que decir las dos cosas: que la función no está definida en el punto y que el límite existe y es finito (aquí, 1).

Simplificar $(2x+1)$ no lo devuelve al dominio: $x = -\frac12$ sigue fuera. Por eso la monotonía se da intervalo a intervalo; decir «decreciente en $\mathbb{R}$ » es incorrecto (ni siquiera está definida en todo $\mathbb{R}$ ). Y en c), el valor absoluto del logaritmo y la constante $C$ .