Problema resuelto de Matemáticas II: Rectas y planosSelectividad (PAU) · Comunitat Valenciana 2023 · Julio

a) Punto genérico de $r$. $P_\lambda = (1 - \lambda,\ 1 - \lambda,\ 2\lambda)$.

Sustitución en $\pi$.$$5(1 - \lambda) + m(1 - \lambda) + 2\lambda = 2 \;\Longrightarrow\; (5 + m) - (3 + m)\lambda = 2 \;\Longrightarrow\; (m + 3)\,\lambda = m + 3$$Caso $m \neq -3$. Se puede dividir: $\lambda = 1$, una única solución. La recta y el plano se cortan en un punto, $P_1 = (0, 0, 2)$, que no depende de $m$ (en efecto, $5\cdot 0 + m\cdot 0 + 2 = 2$ ✓).

Caso $m = -3$. La ecuación queda $0\cdot\lambda = 0$, que se cumple para todo $\lambda$: todos los puntos de $r$ están en $\pi$, así que la recta está contenida en el plano.

Comprobación con los vectores. $\vec d_r \cdot \vec n_\pi = (-1, -1, 2)\cdot(5, m, 1) = -5 - m + 2 = -(m + 3)$: solo es cero si $m = -3$, y entonces el punto $(1, 1, 0)$ cumple $5 - 3 + 0 = 2$ ✓, de modo que no hay ningún caso de recta paralela exterior.

b) Datos del plano $\pi'$ para $m = 1$. Punto $P = (1, 1, 0)$ de $r$, director $\vec d_r = (-1, -1, 2)$ y normal de $\pi$, $\vec n_\pi = (5, 1, 1)$. Los dos vectores son paralelos a $\pi'$.

Vector normal de $\pi'$.$$\vec d_r \times \vec n_\pi = \begin{vmatrix} \vec i & \vec j & \vec k \\ -1 & -1 & 2 \\ 5 & 1 & 1 \end{vmatrix} = \big((-1)\cdot 1 - 2\cdot 1,\; 2\cdot 5 - (-1)\cdot 1,\; (-1)\cdot 1 - (-1)\cdot 5\big) = (-3, 11, 4)$$Ecuación del plano. Por $P = (1, 1, 0)$:$$-3(x - 1) + 11(y - 1) + 4z = 0 \;\Longrightarrow\; -3x + 11y + 4z - 8 = 0 \;\Longrightarrow\; \pi': 3x - 11y - 4z + 8 = 0$$Comprobación. Contiene a $r$: $(3, -11, -4)\cdot(-1, -1, 2) = -3 + 11 - 8 = 0$ y $P$ cumple $3 - 11 - 0 + 8 = 0$ ✓. Es perpendicular a $\pi$: $(3, -11, -4)\cdot(5, 1, 1) = 15 - 11 - 4 = 0$ ✓.