Matemáticas IIFácil2,5 pts

Problema resuelto de Matemáticas II: Rectas y planosSelectividad (PAU) · Comunitat Valenciana 2023 · Julio

También trata: Áreas, volúmenes y distancias

Enunciado

Dados los puntos

A = (2, -1, 0)

B = (1, 2, 3)

C = (-1, 0, 0)

:

a) Hallar la ecuación implícita de la recta

r

que contiene a los puntos

A

B

. (3 puntos)

b) Hallar la ecuación del plano

\pi

que es perpendicular a la recta anterior

r

y que contiene al punto

C

. (4 puntos)

c) Calcular la distancia del punto

A

al plano

\pi

. (3 puntos)

Comprobar el resultadocompara con lo que te ha salido

Resultado

r: \ 3x + y - 5 = 0,\ \ y - z + 1 = 0

.

b)

\pi: -x + 3y + 3z - 1 = 0

.

c)

d(A, \pi) = \dfrac{6}{\sqrt{19}} = \dfrac{6\sqrt{19}}{19} \approx 1{,}3765

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

Todo gira alrededor del vector

\overrightarrow{AB}

es el director de la recta $r$ (apartado a), que se escribe en forma continua y, de ahí, como corte de dos planos;
como el plano $\pi$ es perpendicular a $r$ , ese mismo vector es su normal (apartado b), y basta imponer que pase por $C$ ;
la distancia de c) es la fórmula de la distancia de un punto a un plano.

Desarrollo

a) Vector director.

\overrightarrow{AB} = (1, 2, 3) - (2, -1, 0) = (-1, 3, 3)

Ecuación continua. Con el punto

A

\frac{x - 2}{-1} = \frac{y + 1}{3} = \frac{z}{3}

Ecuaciones implícitas. Igualando la primera fracción con la segunda:

3(x - 2) = -(y + 1)

, es decir,

3x + y - 5 = 0

. Igualando la segunda con la tercera:

y + 1 = z

, es decir,

y - z + 1 = 0

r: \begin{cases} 3x + y - 5 = 0 \\ y - z + 1 = 0 \end{cases}

Comprobación con $B$ .

3 + 2 - 5 = 0

✓ y

2 - 3 + 1 = 0

✓.

b) Vector normal. Si

\pi \perp r

, el director de

r

es normal a

\pi

\vec n = (-1, 3, 3)

\pi: -x + 3y + 3z + D = 0

Imponer que pase por $C$ .

-(-1) + 0 + 0 + D = 0 \Rightarrow D = -1

\pi: -x + 3y + 3z - 1 = 0

c) Distancia de $A$ a $\pi$ .

d(A, \pi) = \frac{|-2 + 3\cdot(-1) + 3\cdot 0 - 1|}{\sqrt{(-1)^2 + 3^2 + 3^2}} = \frac{|-6|}{\sqrt{19}} = \frac{6}{\sqrt{19}} = \frac{6\sqrt{19}}{19} \approx 1{,}3765\ \text{u}

Interpretación. Como

r \perp \pi

, esta distancia es la que hay entre

A

y el punto donde

r

corta a

\pi

Consejo

Piden la ecuación implícita de la recta: si la dejas en paramétrica o continua, el apartado queda a medias. Hay infinitas parejas de planos válidas; comprueba la tuya sustituyendo los dos puntos $A$ y $B$ .

En la distancia, el valor absoluto del numerador y la raíz del denominador son lo que más se olvida.