Matemáticas IIFácil2,5 pts

Problema resuelto de Matemáticas II: MatricesSelectividad (PAU) · Comunitat Valenciana 2023 · Julio

Enunciado

Dadas las matrices

A = \begin{pmatrix} 0 & -1 & -2 \\ -1 & 0 & -2 \\ 1 & 1 & 3 \end{pmatrix}

I = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}

, obtener:

a) La matriz

M = (A - \alpha I)^2

, donde

\alpha

es un parámetro real. (6 puntos)

b) El valor de

\alpha

, si existe, para el cual la matriz

M

es la matriz nula. (4 puntos)

Comprobar el resultadocompara con lo que te ha salido

Resultado

M = \begin{pmatrix} \alpha^2 - 1 & 2\alpha - 2 & 4\alpha - 4 \\ 2\alpha - 2 & \alpha^2 - 1 & 4\alpha - 4 \\ 2 - 2\alpha & 2 - 2\alpha & \alpha^2 - 6\alpha + 5 \end{pmatrix}

b) Existe y es único:

\alpha = 1

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

Hay dos caminos para a): restar

\alpha

en la diagonal de

A

y multiplicar la matriz resultante por sí misma, o desarrollar el cuadrado. Como

A

I

conmutan (

AI = IA = A

), sí se puede usar la identidad notable:

(A - \alpha I)^2 = A^2 - 2\alpha A + \alpha^2 I

Así solo hay que calcular un producto sin parámetros,

A^2

. En b) se igualan a cero todos los elementos de

M

y se busca un

\alpha

que los anule a la vez.

Desarrollo

a) Cálculo de $A^2$ .

A^2 = \begin{pmatrix} 0 & -1 & -2 \\ -1 & 0 & -2 \\ 1 & 1 & 3 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 0 & -1 & -2 \\ -1 & 0 & -2 \\ 1 & 1 & 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 - 2 & -2 & 2 - 6 \\ -2 & 1 - 2 & 2 - 6 \\ -1 + 3 & -1 + 3 & -2 - 2 + 9 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -1 & -2 & -4 \\ -2 & -1 & -4 \\ 2 & 2 & 5 \end{pmatrix}

Desarrollo del cuadrado. Como

A

I

conmutan,

M = A^2 - 2\alpha A + \alpha^2 I

M = \begin{pmatrix} -1 & -2 & -4 \\ -2 & -1 & -4 \\ 2 & 2 & 5 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 0 & 2\alpha & 4\alpha \\ 2\alpha & 0 & 4\alpha \\ -2\alpha & -2\alpha & -6\alpha \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} \alpha^2 & 0 & 0 \\ 0 & \alpha^2 & 0 \\ 0 & 0 & \alpha^2 \end{pmatrix}

M = \begin{pmatrix} \alpha^2 - 1 & 2\alpha - 2 & 4\alpha - 4 \\ 2\alpha - 2 & \alpha^2 - 1 & 4\alpha - 4 \\ 2 - 2\alpha & 2 - 2\alpha & \alpha^2 - 6\alpha + 5 \end{pmatrix}

Comprobación con $\alpha = 0$ . Queda

M = A^2

✓.

b) Matriz nula. Todos los elementos deben anularse:

$2\alpha - 2 = 0 \Rightarrow \alpha = 1$ (y lo mismo dicen $4\alpha - 4 = 0$ y $2 - 2\alpha = 0$ ).
$\alpha^2 - 1 = 0 \Rightarrow \alpha = \pm 1$ : con $\alpha = 1$ se cumple.
$\alpha^2 - 6\alpha + 5 = (\alpha - 1)(\alpha - 5) = 0$ : con $\alpha = 1$ se cumple.

El único valor común es

\alpha = 1

. Con él,

M = (A - I)^2 = O

; es decir,

A^2 = 2A - I

, lo que se comprueba en la matriz

A^2

de a).

Consejo

$(A - \alpha I)^2 = A^2 - 2\alpha A + \alpha^2 I$ solo vale porque $A$ conmuta con $I$ ; con dos matrices cualesquiera, $(A - B)^2 = A^2 - AB - BA + B^2$ . Dilo al usarla.

En b) no basta con anular un elemento: el valor tiene que anular los nueve. Que $\alpha = -1$ anule $\alpha^2 - 1$ no sirve, porque no anula $2\alpha - 2$ .