Problema resuelto de Matemáticas II: Sistemas de ecuacionesSelectividad (PAU) · Comunitat Valenciana 2023 · Julio

a) Determinante de la matriz de coeficientes. Desarrollando por la primera fila:$$|A| = 2\begin{vmatrix} a & 2 \\ 1 & a+2 \end{vmatrix} - (a+1)\begin{vmatrix} 1 & 2 \\ 1 & a+2 \end{vmatrix} + 1\cdot\begin{vmatrix} 1 & a \\ 1 & 1 \end{vmatrix}$$$$|A| = 2(a^2 + 2a - 2) - (a+1)\,a + (1 - a) = a^2 + 2a - 3 = (a+3)(a-1)$$Valores críticos. $|A| = 0 \iff a = 1$ o $a = -3$.

Caso $a \neq 1$ y $a \neq -3$. $\operatorname{rg}(A) = \operatorname{rg}(A^*) = 3 =$ número de incógnitas: sistema compatible determinado.

Caso $a = 1$.$$A^* = \left(\begin{array}{ccc|c} 2 & 2 & 1 & -1 \\ 1 & 1 & 2 & 1 \\ 1 & 1 & 3 & 2 \end{array}\right)$$El menor $\begin{vmatrix} 1 & 2 \\ 1 & 3 \end{vmatrix} = 1 \neq 0$ (filas 2 y 3, columnas 2 y 3), así que $\operatorname{rg}(A) = 2$. En la ampliada, las columnas 1 y 2 son iguales, de modo que basta con orlar con las columnas 1, 3 y la de términos independientes:$$\begin{vmatrix} 2 & 1 & -1 \\ 1 & 2 & 1 \\ 1 & 3 & 2 \end{vmatrix} = 2(4-3) - 1(2-1) + (-1)(3-2) = 2 - 1 - 1 = 0$$Luego $\operatorname{rg}(A^*) = 2 = \operatorname{rg}(A) < 3$: sistema compatible indeterminado (un parámetro).

Caso $a = -3$.$$A^* = \left(\begin{array}{ccc|c} 2 & -2 & 1 & -1 \\ 1 & -3 & 2 & 1 \\ 1 & 1 & -1 & 2 \end{array}\right)$$El menor $\begin{vmatrix} 2 & -2 \\ 1 & -3 \end{vmatrix} = -6 + 2 = -4 \neq 0$, así que $\operatorname{rg}(A) = 2$. Orlando con la columna de términos independientes:$$\begin{vmatrix} 2 & -2 & -1 \\ 1 & -3 & 1 \\ 1 & 1 & 2 \end{vmatrix} = 2(-6-1) + 2(2-1) - 1(1+3) = -14 + 2 - 4 = -16 \neq 0$$Luego $\operatorname{rg}(A^*) = 3 \neq \operatorname{rg}(A) = 2$: sistema incompatible.

b) Resolución para $a = 1$. Nos quedamos con las dos ecuaciones independientes (la 2.ª y la 3.ª):$$\begin{cases} x + y + 2z = 1 \\ x + y + 3z = 2 \end{cases}$$Restando la primera de la segunda: $z = 1$. Entonces $x + y = 1 - 2 = -1$. Tomando $x = \lambda$:$$x = \lambda, \qquad y = -1 - \lambda, \qquad z = 1, \qquad \lambda \in \mathbb{R}$$Comprobación en la 1.ª ecuación. $2\lambda + 2(-1-\lambda) + 1 = -2 + 1 = -1$ ✓.