Matemáticas IIMedio2,5 pts

Distribución normalSelectividad (PAU) · País Vasco 2023 · Junio

País Vasco · 2023 · Junio
Enunciado
Los resultados obtenidos en una prueba de matemáticas siguen una distribución normal con media 65 puntos y desviación típica 18 puntos. El 15 % del alumnado está en el nivel avanzado, el 65 % en el nivel medio y el 20 % restante en el nivel inicial. Decide, razonando tus respuestas, en qué nivel situaremos a los alumnos o alumnas que han obtenido las siguientes notas:

a) 85,5 puntos,

b) 48 puntos.

(Se adjunta la tabla de la distribución normal.)
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Resultado
Cortes: nivel inicial por debajo de 49,8849{,}88 puntos y avanzado por encima de 83,7283{,}72.

a) Con 85,5 puntos, nivel avanzado.

b) Con 48 puntos, nivel inicial.
Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo
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Estrategia

Los niveles se reparten por «trozos» de la campana: el 20 % de abajo es el nivel inicial, el 15 % de arriba es el avanzado y el medio queda entre ambos. Hay que hallar las dos notas de corte x1x_1 (por debajo, nivel inicial) y x2x_2 (por encima, nivel avanzado). Es un problema inverso: conocemos la probabilidad y buscamos el valor, así que se busca en la tabla el zz y se «destipifica» con x=65+18zx = 65 + 18z. Después basta comparar cada nota con los cortes.
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Desarrollo

Variable. XX = nota, X∼N(65,18)X \sim N(65, 18). Si Z=X−6518∼N(0,1)Z = \dfrac{X - 65}{18} \sim N(0, 1), entonces x=65+18zx = 65 + 18z.

Corte del nivel avanzado. Buscamos x2x_2 con P(X≥x2)=0,15P(X \geq x_2) = 0{,}15, es decir, P(Z≤z2)=0,85P(Z \leq z_2) = 0{,}85. En la tabla, 0,84850{,}8485 corresponde a z=1,03z = 1{,}03 y 0,85080{,}8508 a z=1,04z = 1{,}04; el más cercano a 0,850{,}85 es z2≈1,04z_2 \approx 1{,}04:x2=65+18⋅1,04=83,72 puntosx_2 = 65 + 18 \cdot 1{,}04 = 83{,}72 \text{ puntos}Corte del nivel inicial. Buscamos x1x_1 con P(X≤x1)=0,20P(X \leq x_1) = 0{,}20, es decir, P(Z≤z1)=0,20P(Z \leq z_1) = 0{,}20. Como 0,20<0,50{,}20 < 0{,}5, z1z_1 es negativo; por simetría, P(Z≤−z1)=0,80P(Z \leq -z_1) = 0{,}80. En la tabla, 0,79950{,}7995 corresponde a 0,840{,}84 y 0,80230{,}8023 a 0,850{,}85; tomamos −z1≈0,84-z_1 \approx 0{,}84, así que z1≈−0,84z_1 \approx -0{,}84:x1=65+18⋅(−0,84)=49,88 puntosx_1 = 65 + 18 \cdot (-0{,}84) = 49{,}88 \text{ puntos}Niveles. Inicial si la nota es menor que 49,8849{,}88; medio entre 49,8849{,}88 y 83,7283{,}72; avanzado si es mayor que 83,7283{,}72.

a) 85,5>83,7285{,}5 > 83{,}72: nivel avanzado.

Comprobación tipificando la nota. z=85,5−6518≈1,14z = \dfrac{85{,}5 - 65}{18} \approx 1{,}14 y P(X≥85,5)=1−P(Z≤1,14)=1−0,8729=0,1271<0,15P(X \geq 85{,}5) = 1 - P(Z \leq 1{,}14) = 1 - 0{,}8729 = 0{,}1271 < 0{,}15: la nota está dentro del 15 % superior ✓.

b) 48<49,8848 < 49{,}88: nivel inicial.

Comprobación. z=48−6518≈−0,94z = \dfrac{48 - 65}{18} \approx -0{,}94 y P(X≤48)=1−P(Z≤0,94)=1−0,8264=0,1736<0,20P(X \leq 48) = 1 - P(Z \leq 0{,}94) = 1 - 0{,}8264 = 0{,}1736 < 0{,}20: la nota está dentro del 20 % inferior ✓.
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Consejo

El planteamiento vale 1,5 de los 2,5 puntos: lo que se corrige es que traduzcas «el 15 % superior» y «el 20 % inferior» a P(X≥x2)=0,15P(X \geq x_2) = 0{,}15 y P(X≤x1)=0,20P(X \leq x_1) = 0{,}20, y que manejes bien la simetría para el zz negativo. Si la probabilidad buscada no está exacta en la tabla, toma el valor más próximo y dilo.
Paso 1 de 3
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