Matemáticas IIMedio2,5 pts

Problema resuelto de Matemáticas II: IntegralesSelectividad (PAU) · País Vasco 2023 · Junio

Enunciado

Calcula las siguientes integrales:

\int \frac{x^2 + 4}{(x + 2)^2}\, dx, \qquad \int (x + 2)\sin(3x)\, dx.

Comprobar el resultadocompara con lo que te ha salido

Resultado

\int \frac{x^2 + 4}{(x + 2)^2}\, dx = x - 4\ln|x + 2| - \frac{8}{x + 2} + C

\int (x + 2)\sin(3x)\, dx = -\frac{(x + 2)\cos(3x)}{3} + \frac{\sin(3x)}{9} + C

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

Primera integral. Es racional con numerador y denominador del mismo grado: primero se divide (o se reescribe el numerador) para sacar la parte entera y después se descompone lo que queda en fracciones simples con la raíz doble

x = -2

.

Segunda integral. Un polinomio por un seno: el caso típico de integración por partes, derivando el polinomio (

u = x + 2

) para que desaparezca.

Desarrollo

Primera integral.

Parte entera. Como

(x + 2)^2 = x^2 + 4x + 4

\frac{x^2 + 4}{(x + 2)^2} = \frac{(x^2 + 4x + 4) - 4x}{(x + 2)^2} = 1 - \frac{4x}{(x + 2)^2}

Fracciones simples. Escribimos

-4x = -4(x + 2) + 8

-\frac{4x}{(x + 2)^2} = \frac{-4(x + 2) + 8}{(x + 2)^2} = -\frac{4}{x + 2} + \frac{8}{(x + 2)^2}

(Por coeficientes indeterminados sale lo mismo:

\dfrac{-4x}{(x+2)^2} = \dfrac{a}{x+2} + \dfrac{b}{(x+2)^2} \Rightarrow -4x = a(x + 2) + b

, así que

a = -4

2a + b = 0

b = 8

.)

Integración.

\int \frac{x^2 + 4}{(x + 2)^2}\, dx = \int \left(1 - \frac{4}{x + 2} + \frac{8}{(x + 2)^2}\right) dx = x - 4\ln|x + 2| - \frac{8}{x + 2} + C

Comprobación. Derivando:

1 - \dfrac{4}{x + 2} + \dfrac{8}{(x + 2)^2} = \dfrac{(x + 2)^2 - 4(x + 2) + 8}{(x + 2)^2} = \dfrac{x^2 + 4}{(x + 2)^2}

✓.

Segunda integral.

Elección de las partes.

u = x + 2 \;\Rightarrow\; du = dx, \qquad dv = \sin(3x)\,dx \;\Rightarrow\; v = -\frac{\cos(3x)}{3}

Fórmula $\int u\,dv = uv - \int v\,du$ .

\int (x + 2)\sin(3x)\, dx = -\frac{(x + 2)\cos(3x)}{3} + \frac13 \int \cos(3x)\, dx = -\frac{(x + 2)\cos(3x)}{3} + \frac{\sin(3x)}{9} + C

Comprobación. Derivando:

-\dfrac{\cos(3x)}{3} + (x + 2)\sin(3x) + \dfrac{3\cos(3x)}{9} = (x + 2)\sin(3x)

✓.

Consejo

En la primera integral los criterios dan 1 punto solo a la descomposición del integrando: si el grado del numerador no es menor que el del denominador, divide antes de descomponer, o te faltará el 1. Con una raíz doble, la descomposición lleva los dos términos, $\frac{a}{x+2}$ y $\frac{b}{(x+2)^2}$ . Y no olvides la constante ni el valor absoluto del logaritmo.