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Problema resuelto de Matemáticas II: Derivadas y aplicacionesSelectividad (PAU) · País Vasco 2023 · Junio

Enunciado

La función

f(x) = Ax^2 + Bx + C

es creciente en el intervalo

(-\infty, 1)

y decreciente en el intervalo

(1, \infty)

. Además, la recta tangente a su gráfica en el punto de abscisa

x = 2

es perpendicular a la recta de ecuación

y = x + 2

f(0) = \displaystyle\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x}

. Calcula los valores de los parámetros

A

B

C

Comprobar el resultadocompara con lo que te ha salido

Resultado

A = -\dfrac12

B = 1

C = 1

, es decir,

f(x) = -\dfrac{x^2}{2} + x + 1

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

Hay tres incógnitas, así que buscamos tres condiciones:

Si $f$ crece hasta $x = 1$ y decrece después, en $x = 1$ hay un máximo: $f'(1) = 0$ .
La tangente en $x = 2$ es perpendicular a una recta de pendiente 1, así que su pendiente es $-1$ : $f'(2) = -1$ .
$f(0) = C$ es el valor de un límite famoso, que se calcula con L'Hôpital.

Las dos primeras dan un sistema para

A

B

; la tercera da

C

directamente.

Desarrollo

Derivada.

f'(x) = 2Ax + B

.

Condición de la monotonía.

f

es derivable y pasa de crecer a decrecer en

x = 1

, luego tiene un máximo relativo ahí:

f'(1) = 0 \;\Longrightarrow\; 2A + B = 0

Condición de la tangente. Dos rectas (no verticales) son perpendiculares si el producto de sus pendientes es

-1

. La recta

y = x + 2

tiene pendiente

1

, así que la tangente en

x = 2

tiene pendiente

-1

f'(2) = -1 \;\Longrightarrow\; 4A + B = -1

Sistema para $A$ y $B$ . Restando la primera ecuación a la segunda:

2A = -1 \;\Longrightarrow\; A = -\tfrac12, \qquad B = -2A = 1

Comprobación.

f'(x) = -x + 1

: es positiva para

x < 1

y negativa para

x > 1

, justo lo que pide el enunciado ✓ (la parábola abre hacia abajo y su vértice está en

x = 1

).

Condición del límite. El límite es una indeterminación

\tfrac00

; por L'Hôpital:

\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = \lim_{x \to 0} \frac{\cos x}{1} = 1

Como

f(0) = C

C = 1

Consejo

Los criterios valoran sobre todo plantear las condiciones (1 punto para las de $A$ y $B$ y 0,5 para la de $C$ ). Escribe cada frase del enunciado como una ecuación y di de dónde sale: «crece y luego decrece» → $f'(1) = 0$ ; «perpendicular a una recta de pendiente $m$ » → pendiente $-1/m$ . Un error típico es poner $f'(2) = 1$ (eso sería paralela).