Sean r la recta cuya ecuación continua es: \dfrac{x - 1}{1} = \dfrac{y - 1}{-1} = \dfrac{z - 1}{2}, los planos de ecuaciones \pi_1 \equiv x + y + z = 1 y \pi_2 \equiv x + y - z = 1, P_1 el punto de corte de la recta r con el plano \pi_1 y P_2 el punto de corte de la recta r con el plano \pi_2. Calcula: a) las coordenadas de los puntos P_1 y P_2; b) la distancia entre los puntos P_1 y P_2; c) la distancia del punto P_1 al plano \pi_2.

Matemáticas IIFácil2,5 pts

Problema resuelto de Matemáticas II: Rectas y planosSelectividad (PAU) · País Vasco 2023 · Junio

También trata: Áreas, volúmenes y distancias

Enunciado

Sean

r

la recta cuya ecuación continua es:

\dfrac{x - 1}{1} = \dfrac{y - 1}{-1} = \dfrac{z - 1}{2}

, los planos de ecuaciones

\pi_1 \equiv x + y + z = 1

\pi_2 \equiv x + y - z = 1

P_1

el punto de corte de la recta

r

con el plano

\pi_1

P_2

el punto de corte de la recta

r

con el plano

\pi_2

. Calcula:

a) las coordenadas de los puntos

P_1

P_2

;

b) la distancia entre los puntos

P_1

P_2

;

c) la distancia del punto

P_1

al plano

\pi_2

Comprobar el resultadocompara con lo que te ha salido

Resultado

P_1 = (0, 2, -1)

P_2 = (1, 1, 1)

.

b)

d(P_1, P_2) = \sqrt{6} \approx 2{,}45

u.

c)

d(P_1, \pi_2) = \dfrac{2\sqrt{3}}{3} \approx 1{,}15

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

De la ecuación continua se lee un punto de

r

(1, 1, 1)

, y su director,

(1, -1, 2)

. Con ellos escribimos el punto genérico de la recta; sustituyéndolo en cada plano sale un valor del parámetro y, con él, el punto de corte.

Las dos distancias son de fórmula: la de dos puntos es el módulo del vector que los une, y la de un punto a un plano,

\dfrac{|Ax_0 + By_0 + Cz_0 + D|}{\sqrt{A^2 + B^2 + C^2}}

Desarrollo

Punto genérico de $r$ . Igualando cada fracción a

t

r \equiv (x, y, z) = (1 + t,\ 1 - t,\ 1 + 2t), \qquad t \in \mathbb{R}

a) Corte con $\pi_1$ .

(1 + t) + (1 - t) + (1 + 2t) = 1 \;\Rightarrow\; 3 + 2t = 1 \;\Rightarrow\; t = -1

P_1 = (1 - 1,\ 1 + 1,\ 1 - 2) = (0, 2, -1)

Corte con $\pi_2$ .

(1 + t) + (1 - t) - (1 + 2t) = 1 \;\Rightarrow\; 1 - 2t = 1 \;\Rightarrow\; t = 0

P_2 = (1, 1, 1)

Comprobación.

P_1

\pi_1

0 + 2 - 1 = 1

✓.

P_2

\pi_2

1 + 1 - 1 = 1

✓.

b) Distancia entre $P_1$ y $P_2$ .

\overrightarrow{P_1P_2} = (1 - 0,\ 1 - 2,\ 1 - (-1)) = (1, -1, 2)

d(P_1, P_2) = \left|\overrightarrow{P_1P_2}\right| = \sqrt{1^2 + (-1)^2 + 2^2} = \sqrt{6} \approx 2{,}449 \ \text{u}

(Como era de esperar,

\overrightarrow{P_1P_2}

es justo el vector director de

r

: los dos puntos corresponden a

t = -1

t = 0

.)

c) Distancia de $P_1$ a $\pi_2$ . Escribimos

\pi_2 \equiv x + y - z - 1 = 0

d(P_1, \pi_2) = \frac{|0 + 2 - (-1) - 1|}{\sqrt{1^2 + 1^2 + (-1)^2}} = \frac{2}{\sqrt{3}} = \frac{2\sqrt{3}}{3} \approx 1{,}155 \ \text{u}

Consejo

El apartado a) es el que más pesa (1,5 de 2,5 según los criterios), y de él dependen los otros dos: comprueba cada punto en su plano antes de seguir. En la distancia a un plano, pasa antes todo al primer miembro ( $x + y - z - 1 = 0$ ); olvidar el $-1$ es el error más típico.