Problema resuelto de Matemáticas II: MatricesSelectividad (PAU) · País Vasco 2023 · Junio

Menor de las columnas 1, 2 y 3.$$\begin{vmatrix} \alpha & 0 & \alpha \\ 3 & \alpha & 0 \\ 0 & 1 & -1 \end{vmatrix} = \alpha\,(-\alpha - 0) - 0 + \alpha\,(3 - 0) = -\alpha^2 + 3\alpha = \alpha\,(3 - \alpha)$$Se anula para $\alpha = 0$ y $\alpha = 3$.

Caso $\alpha \neq 0$ y $\alpha \neq 3$. Hay un menor de orden 3 no nulo: $\operatorname{rg}(A) = 3$.

Caso $\alpha = 0$.$$A = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 & 0 \\ 3 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & -1 & 2 \end{pmatrix}$$La primera fila es nula, así que todo menor de orden 3 vale 0 y $\operatorname{rg}(A) < 3$. Pero $\begin{vmatrix} 3 & 0 \\ 0 & 1 \end{vmatrix} = 3 \neq 0$ (filas 2 y 3, columnas 1 y 2), luego $\operatorname{rg}(A) = 2$.

Caso $\alpha = 3$.$$A = \begin{pmatrix} 3 & 0 & 3 & 0 \\ 3 & 3 & 0 & 3 \\ 0 & 1 & -1 & 2 \end{pmatrix}$$El menor de las columnas 1, 2 y 3 se anula, pero probamos con las columnas 1, 2 y 4:$$\begin{vmatrix} 3 & 0 & 0 \\ 3 & 3 & 3 \\ 0 & 1 & 2 \end{vmatrix} = 3\,(3 \cdot 2 - 3 \cdot 1) = 3 \cdot 3 = 9 \neq 0$$Así que $\operatorname{rg}(A) = 3$.

Otra forma más corta. El menor de las columnas 2, 3 y 4 es$$\begin{vmatrix} 0 & \alpha & 0 \\ \alpha & 0 & \alpha \\ 1 & -1 & 2 \end{vmatrix} = -\alpha\,(2\alpha - \alpha) = -\alpha^2,$$que solo se anula en $\alpha = 0$: con él se ve de golpe que el rango es 3 para todo $\alpha \neq 0$.