Matemáticas IIFácil2,5 pts

Problema resuelto de Matemáticas II: ProbabilidadSelectividad (PAU) · País Vasco 2023 · Junio

Enunciado

La producción de una empresa la realizan, a partes iguales, cuatro turnos, de los que tres son diurnos y uno nocturno. El porcentaje de piezas defectuosas producidas en cada turno diurno es el 2 % y en el nocturno es del 10 %.

Si se toma una pieza al azar de un turno al azar,

a) calcula la probabilidad de que la pieza sea defectuosa;

b) si la pieza tomada es defectuosa, calcula la probabilidad de que se haya producido en un turno diurno.

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Resultado

P(\text{defectuosa}) = 0{,}04

(un 4 %).

b)

P(\text{diurno} \mid \text{defectuosa}) = 0{,}375

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

Es el esquema clásico de dos etapas: primero se elige el turno (diurno o nocturno) y después la pieza sale defectuosa o no. Con un diagrama de árbol, la probabilidad total da a), y b) es la pregunta «al revés» (sabemos el resultado y preguntamos por la causa), que se resuelve con el teorema de Bayes.

Desarrollo

Sucesos.

D

= «la pieza es de un turno diurno»,

N

= «de un turno nocturno»,

F

= «la pieza es defectuosa».

Probabilidades de partida. Los cuatro turnos producen lo mismo y tres son diurnos:

P(D) = \frac34, \qquad P(N) = \frac14, \qquad P(F \mid D) = 0{,}02, \qquad P(F \mid N) = 0{,}10

Árbol. De la raíz salen dos ramas:

D

con

\tfrac34

N

con

\tfrac14

. De

D

salen

F

con

0{,}02

\overline F

con

0{,}98

; de

N

F

con

0{,}10

\overline F

con

0{,}90

.

a) Probabilidad total.

P(F) = P(D)\,P(F \mid D) + P(N)\,P(F \mid N) = \frac34 \cdot 0{,}02 + \frac14 \cdot 0{,}10 = 0{,}015 + 0{,}025 = 0{,}04

b) Teorema de Bayes.

P(D \mid F) = \frac{P(D)\,P(F \mid D)}{P(F)} = \frac{0{,}015}{0{,}04} = 0{,}375

Aunque los turnos diurnos fabrican el 75 % de las piezas, solo dan el 37,5 % de las defectuosas: el turno de noche, con su 10 % de defectos, aporta el resto (

0{,}625

Consejo

Los criterios dan 0,5 puntos solo al planteamiento: define los sucesos con letras y dibuja el árbol con todas sus probabilidades antes de calcular. En b) fíjate en el orden de la condición: «si la pieza es defectuosa, que sea diurna» es $P(D \mid F)$ , no $P(F \mid D)$ , que es un dato.