Problema resuelto de Matemáticas II: IntegralesSelectividad (PAU) · País Vasco 2023 · Junio

Corte de la recta con la hipérbola.$$\frac{4}{x^2} = 4 \;\Longrightarrow\; x^2 = 1 \;\Longrightarrow\; x = 1 \quad (\text{primer cuadrante}), \text{ punto } (1, 4)$$Corte de la parábola con la hipérbola.$$\frac{x^2}{4} = \frac{4}{x^2} \;\Longrightarrow\; x^4 = 16 \;\Longrightarrow\; x = 2 \quad (x > 0), \text{ punto } (2, 1)$$(La parábola corta a $y = 4$ en $x = 4$, pero ahí la hipérbola ya vale $\tfrac14$ y queda por debajo: ese punto no limita el recinto.)

El dibujo. En el primer cuadrante se dibuja la parábola $y = x^2/4$, que sale del origen y pasa por $(1, \tfrac14)$ y $(2, 1)$; la recta horizontal $y = 4$; y la rama de la hipérbola $y = 4/x^2$, que baja desde arriba pasando por $(1, 4)$ y $(2, 1)$. El recinto es la región cuyo lado izquierdo es el eje $Y$ (de $(0,0)$ a $(0,4)$), su techo es el segmento de $y = 4$ entre $x = 0$ y $x = 1$ y luego la hipérbola de $(1, 4)$ a $(2, 1)$, y su suelo es la parábola del origen a $(2, 1)$.

Área como suma de dos integrales.$$\text{Área} = \int_0^1 \left(4 - \frac{x^2}{4}\right) dx + \int_1^2 \left(\frac{4}{x^2} - \frac{x^2}{4}\right) dx$$Primer tramo.$$\int_0^1 \left(4 - \frac{x^2}{4}\right) dx = \left[4x - \frac{x^3}{12}\right]_0^1 = 4 - \frac{1}{12} = \frac{47}{12}$$Segundo tramo.$$\int_1^2 \left(\frac{4}{x^2} - \frac{x^2}{4}\right) dx = \left[-\frac{4}{x} - \frac{x^3}{12}\right]_1^2 = \left(-2 - \frac{8}{12}\right) - \left(-4 - \frac{1}{12}\right) = 2 - \frac{7}{12} = \frac{17}{12}$$Área total.$$\text{Área} = \frac{47}{12} + \frac{17}{12} = \frac{64}{12} = \frac{16}{3} \approx 5{,}33 \ \text{u}^2$$