Matemáticas IIFácil2,5 pts

Problema resuelto de Matemáticas II: Derivadas y aplicacionesSelectividad (PAU) · País Vasco 2023 · Junio

Enunciado

Sea la función

f(x) = x^4 - 2x^3 + x^2

. Calcula sus intervalos de crecimiento y decrecimiento y encuentra sus máximos y mínimos relativos. Calcula la recta tangente a la gráfica de

f

en el punto de abscisa

x = 2

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Resultado

Decrece en

(-\infty, 0) \cup (\tfrac12, 1)

y crece en

(0, \tfrac12) \cup (1, +\infty)

. Mínimos relativos en

(0, 0)

(1, 0)

; máximo relativo en

\left(\tfrac12, \tfrac{1}{16}\right)

. Tangente en

x = 2

y = 12x - 20

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Estrategia

Todo gira alrededor de la derivada. Sus ceros parten la recta real en intervalos; el signo de $f'$ en cada uno dice si

f

sube o baja, y donde cambia el signo hay un extremo. La tangente en

x = 2

necesita el punto

(2, f(2))

y la pendiente

f'(2)

.

Un detalle que ayuda:

f(x) = x^2(x - 1)^2 \geq 0

, así que los puntos donde vale 0 tienen que ser mínimos.

Desarrollo

Derivada y factorización.

f'(x) = 4x^3 - 6x^2 + 2x = 2x\,(2x^2 - 3x + 1) = 2x\,(2x - 1)(x - 1)

(las raíces de

2x^2 - 3x + 1 = 0

son

x = \dfrac{3 \pm 1}{4}

, es decir,

1

\tfrac{1}{2}

).

Puntos críticos.

f'(x) = 0 \iff x = 0,\ x = \tfrac{1}{2},\ x = 1

.

Signo de $f'$ .

	$(-\infty, 0)$	$(0, \tfrac12)$	$(\tfrac12, 1)$	$(1, +\infty)$
$2x$	$-$	$+$	$+$	$+$
$2x - 1$	$-$	$-$	$+$	$+$
$x - 1$	$-$	$-$	$-$	$+$
$f'(x)$	$-$	$+$	$-$	$+$
$f$	decrece	crece	decrece	crece

Monotonía.

f

es decreciente en

(-\infty, 0) \cup (\tfrac12, 1)

y creciente en

(0, \tfrac12) \cup (1, +\infty)

.

Extremos relativos.

En $x = 0$ pasa de decrecer a crecer: mínimo relativo, $f(0) = 0$ .
En $x = \tfrac12$ pasa de crecer a decrecer: máximo relativo, $f\!\left(\tfrac12\right) = \tfrac{1}{16} - \tfrac{2}{8} + \tfrac14 = \tfrac{1 - 4 + 4}{16} = \tfrac{1}{16}$ .
En $x = 1$ pasa de decrecer a crecer: mínimo relativo, $f(1) = 1 - 2 + 1 = 0$ .

Recta tangente en $x = 2$ .

f(2) = 16 - 16 + 4 = 4, \qquad f'(2) = 32 - 24 + 4 = 12

y - 4 = 12\,(x - 2) \;\Longrightarrow\; y = 12x - 20

Consejo

Los criterios dan 1 punto entero a factorizar la derivada y estudiar su signo: haz la tabla de signos factor a factor, no pruebes «un valor suelto» en cada intervalo sin explicarlo. Y da los extremos como puntos (abscisa y ordenada), no solo la $x$ .

Paso 1 de 3

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Derivadas y aplicaciones

Ejercicio 2 (parte obligatoria). Considera la función