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Problema resuelto de Matemáticas II: Rectas y planosSelectividad (PAU) · País Vasco 2023 · Junio

Enunciado

Sea

r

la recta cuyas ecuaciones cartesianas son:

r \equiv \begin{cases} x + y - z = 1, \\ 2x + 2y + z = 2. \end{cases}

a) Calcula las ecuaciones paramétricas de la recta

r

.

b) Calcula las ecuaciones paramétricas de la recta que corta perpendicularmente a

r

y pasa por el punto

P(2, 1, 0)

, que es exterior a

r

Comprobar el resultadocompara con lo que te ha salido

Resultado

r

x = t

y = 1 - t

z = 0

(punto

(0, 1, 0)

, director

(1, -1, 0)

).

b) La recta pedida corta a

r

Q(1, 0, 0)

x = 2 + \lambda

y = 1 + \lambda

z = 0

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

a) La recta es la intersección de dos planos. Su vector director es perpendicular a los dos vectores normales, así que sale de su producto vectorial; falta un punto, que se obtiene dando un valor a una incógnita.

b) La recta pedida sale de

P

y llega a

r

formando un ángulo recto. El truco clásico: el plano perpendicular a $r$ que pasa por $P$ contiene a todas las rectas por

P

perpendiculares a

r

; donde ese plano corta a

r

está el punto

Q

de llegada, y la recta buscada es la que une

P

Q

Desarrollo

a) Vectores normales.

\vec n_1 = (1, 1, -1)

\vec n_2 = (2, 2, 1)

.

Vector director.

\vec v = \vec n_1 \times \vec n_2 = \begin{vmatrix} \vec i & \vec j & \vec k \\ 1 & 1 & -1 \\ 2 & 2 & 1 \end{vmatrix} = \big(1 \cdot 1 - (-1)\cdot 2,\ (-1)\cdot 2 - 1 \cdot 1,\ 1 \cdot 2 - 1 \cdot 2\big) = (3, -3, 0)

Tomamos el proporcional

\vec v = (1, -1, 0)

.

Un punto de $r$ . Con

z = 0

las dos ecuaciones quedan

x + y = 1

2x + 2y = 2

(la misma). Tomando

x = 0

y = 1

. El punto es

A(0, 1, 0)

.

Ecuaciones paramétricas.

r \equiv \begin{cases} x = t \\ y = 1 - t \\ z = 0 \end{cases} \qquad t \in \mathbb{R}

Comprobación.

t + (1 - t) - 0 = 1

✓ y

2t + 2(1 - t) + 0 = 2

✓.

b) Plano perpendicular a $r$ por $P$ . Su vector normal es el director de

r

(1, -1, 0)

\pi \equiv x - y + D = 0, \qquad P(2, 1, 0) \in \pi \Rightarrow 2 - 1 + D = 0 \Rightarrow D = -1

\pi \equiv x - y - 1 = 0

Corte de $r$ con $\pi$ . Sustituimos el punto genérico de

r

t - (1 - t) - 1 = 0 \;\Rightarrow\; 2t - 2 = 0 \;\Rightarrow\; t = 1 \;\Rightarrow\; Q(1, 0, 0)

Vector director de la recta pedida.

\overrightarrow{QP} = (2, 1, 0) - (1, 0, 0) = (1, 1, 0)

Comprobación de la perpendicularidad.

(1, 1, 0) \cdot (1, -1, 0) = 1 - 1 + 0 = 0

✓.

Recta pedida, por

P

con director

(1, 1, 0)

s \equiv \begin{cases} x = 2 + \lambda \\ y = 1 + \lambda \\ z = 0 \end{cases} \qquad \lambda \in \mathbb{R}

Consejo

En b) el corrector puntúa por separado el plano perpendicular (0,5), el punto de corte con $r$ (0,5) y la recta final (0,5): escribe los tres pasos aunque te parezcan evidentes. Y comprueba al final que el director que te sale es perpendicular al de $r$ (producto escalar nulo): si no lo es, algo ha fallado en el punto de corte.