Problema resuelto de Matemáticas II: Sistemas de ecuacionesSelectividad (PAU) · País Vasco 2023 · Junio

Matrices del sistema.$$A = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 1 & \alpha & 1 \\ 2 & 3 & 4 \end{pmatrix}, \qquad A^* = \left(\begin{array}{ccc|c} 1 & 2 & 3 & 1 \\ 1 & \alpha & 1 & 1 \\ 2 & 3 & 4 & 2 \end{array}\right)$$Determinante de $A$. Desarrollando por la primera fila:$$|A| = 1\,(4\alpha - 3) - 2\,(4 - 2) + 3\,(3 - 2\alpha) = 4\alpha - 3 - 4 + 9 - 6\alpha = 2 - 2\alpha$$Se anula solo para $\alpha = 1$.

Caso $\alpha \neq 1$. $|A| \neq 0$, así que $\operatorname{rg}(A) = \operatorname{rg}(A^*) = 3 =$ número de incógnitas: sistema compatible determinado (solución única).

Caso $\alpha = 1$. La matriz de coeficientes es$$A = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 1 & 1 & 1 \\ 2 & 3 & 4 \end{pmatrix}$$El menor $\begin{vmatrix} 1 & 2 \\ 1 & 1 \end{vmatrix} = -1 \neq 0$, luego $\operatorname{rg}(A) = 2$. Además, la tercera fila de $A^*$ es la suma de las dos primeras: $(2, 3, 4 \mid 2) = (1, 2, 3 \mid 1) + (1, 1, 1 \mid 1)$. Por tanto $\operatorname{rg}(A^*) = 2$ también.

$\operatorname{rg}(A) = \operatorname{rg}(A^*) = 2 < 3$: sistema compatible indeterminado, con $3 - 2 = 1$ parámetro.

Resolución para $\alpha = 1$. Nos quedamos con las dos primeras ecuaciones:$$\begin{cases} x + 2y + 3z = 1 \\ x + y + z = 1 \end{cases}$$Restando la segunda a la primera: $y + 2z = 0 \Rightarrow y = -2z$. Llevándolo a la segunda: $x = 1 - y - z = 1 + 2z - z = 1 + z$. Con $z = \lambda$:$$(x, y, z) = (1 + \lambda,\ -2\lambda,\ \lambda), \qquad \lambda \in \mathbb{R}$$Comprobación. En la tercera ecuación: $2(1 + \lambda) + 3(-2\lambda) + 4\lambda = 2 + 2\lambda - 6\lambda + 4\lambda = 2$ ✓.

Resolución para $\alpha = 2$. Como $2 \neq 1$, el sistema es compatible determinado. Fíjate en que la columna de términos independientes $(1, 1, 2)$ coincide con la columna de $x$: eso significa que $x = 1$, $y = 0$, $z = 0$ cumple las tres ecuaciones:$$1 + 0 + 0 = 1, \qquad 1 + 0 + 0 = 1, \qquad 2 + 0 + 0 = 2$$Y como la solución es única, es esa. (También sale por Cramer: $x = \dfrac{|A_x|}{|A|}$ con $|A| = 2 - 4 = -2$ y $|A_x| = |A| = -2$, porque $A_x$ es la misma matriz $A$; y $|A_y| = |A_z| = 0$ porque tienen dos columnas iguales.)$$(x, y, z) = (1, 0, 0)$$