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Distribución normalSelectividad (PAU) · País Vasco 2023 · Julio

País Vasco · 2023 · Julio
Enunciado
Una caja que contiene 500 monedas es vaciada sobre una mesa. Halla

a) la probabilidad de que el número de caras sea mayor que 240;

b) la probabilidad de que el número de caras sea menor que 230;

c) la probabilidad de que el número de caras esté comprendido entre 230 y 240, ambos incluidos.

(Se adjunta la tabla de la distribución normal.)
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Resultado
Con X∼B(500; 0,5)≈N(250; 11,18)X \sim B(500;\ 0{,}5) \approx N(250;\ 11{,}18) y corrección de continuidad:

a) P(X>240)≈0,8023P(X > 240) \approx 0{,}8023.

b) P(X<230)≈0,0336P(X < 230) \approx 0{,}0336.

c) P(230≤X≤240)≈0,1641P(230 \le X \le 240) \approx 0{,}1641.
Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo
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Estrategia

Cada moneda es un ensayo con dos resultados (cara o cruz) y probabilidad 12\tfrac12 de cara, independiente de las demás. El número de caras XX sigue entonces una binomial B(500; 0,5)B(500;\ 0{,}5). Calcular, por ejemplo, P(X>240)P(X > 240) con la binomial exigiría sumar 260 términos, así que la aproximamos por una normal con la misma media y desviación típica.

Como pasamos de una variable discreta (que solo toma enteros) a una continua, hay que aplicar la corrección de continuidad: cada entero kk se representa por el intervalo [k−0,5, k+0,5][k - 0{,}5,\ k + 0{,}5]. Después tipificamos y miramos la tabla.
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Desarrollo

Modelo. XX = número de caras, X∼B(n,p)X \sim B(n, p) con n=500n = 500 y p=0,5p = 0{,}5 (suponemos monedas equilibradas).

¿Se puede aproximar por la normal? np=500⋅0,5=250≥5np = 500\cdot 0{,}5 = 250 \ge 5 y nq=500⋅0,5=250≥5nq = 500\cdot 0{,}5 = 250 \ge 5: sí.

Parámetros de la normal.μ=np=250,σ=npq=500⋅0,5⋅0,5=125≈11,18\mu = np = 250, \qquad \sigma = \sqrt{npq} = \sqrt{500\cdot 0{,}5\cdot 0{,}5} = \sqrt{125} \approx 11{,}18Así que X≈X′∼N(250; 11,18)X \approx X' \sim N(250;\ 11{,}18), y tipificamos con Z=X′−25011,18Z = \dfrac{X' - 250}{11{,}18}.

a) Mayor que 240. «Mayor que 240» en enteros es X≥241X \ge 241, que con la corrección de continuidad empieza en 240,5240{,}5:P(X>240)≈P(X′≥240,5)=P ⁣(Z≥240,5−25011,18)=P(Z≥−0,85)P(X > 240) \approx P(X' \ge 240{,}5) = P\!\left(Z \ge \frac{240{,}5 - 250}{11{,}18}\right) = P(Z \ge -0{,}85)Por la simetría de la normal, P(Z≥−0,85)=P(Z≤0,85)=0,8023P(Z \ge -0{,}85) = P(Z \le 0{,}85) = 0{,}8023.

b) Menor que 230. «Menor que 230» es X≤229X \le 229, que acaba en 229,5229{,}5:P(X<230)≈P(X′≤229,5)=P ⁣(Z≤229,5−25011,18)=P(Z≤−1,83)P(X < 230) \approx P(X' \le 229{,}5) = P\!\left(Z \le \frac{229{,}5 - 250}{11{,}18}\right) = P(Z \le -1{,}83)P(Z≤−1,83)=1−P(Z≤1,83)=1−0,9664=0,0336P(Z \le -1{,}83) = 1 - P(Z \le 1{,}83) = 1 - 0{,}9664 = 0{,}0336c) Entre 230 y 240, ambos incluidos. Los sucesos «X<230X < 230», «230≤X≤240230 \le X \le 240» y «X>240X > 240» se reparten todos los casos, así queP(230≤X≤240)=1−P(X>240)−P(X<230)≈1−0,8023−0,0336=0,1641P(230 \le X \le 240) = 1 - P(X > 240) - P(X < 230) \approx 1 - 0{,}8023 - 0{,}0336 = 0{,}1641Directamente, con la corrección de continuidad: P(229,5≤X′≤240,5)=P(−1,83≤Z≤−0,85)=P(Z≤1,83)−P(Z≤0,85)=0,9664−0,8023=0,1641P(229{,}5 \le X' \le 240{,}5) = P(-1{,}83 \le Z \le -0{,}85) = P(Z \le 1{,}83) - P(Z \le 0{,}85) = 0{,}9664 - 0{,}8023 = 0{,}1641 ✓.
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Consejo

Medio punto es solo por identificar el modelo: escribe B(500; 0,5)B(500;\ 0{,}5), comprueba np≥5np \ge 5 y nq≥5nq \ge 5 y da la normal con su media y su desviación típica.

La corrección de continuidad es donde más se falla: «mayor que 240» empieza en 240,5 (el 240 no entra) y «menor que 230» acaba en 229,5. Si dudas, piensa qué enteros entran y añade medio punto por cada lado.
Paso 1 de 3
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