Problema resuelto de Matemáticas II: IntegralesSelectividad (PAU) · País Vasco 2023 · Julio

Las dos parábolas. Llamamos $f(x) = 2x^2 - 4x + 3$ y $g(x) = x^2 - 2x + 3$. Las dos abren hacia arriba (coeficiente de $x^2$ positivo) y tienen el vértice en $x = -\dfrac{b}{2a} = 1$:

• $f$: vértice en $(1, f(1)) = (1, 1)$; más «estrecha», por el 2 delante de $x^2$.
• $g$: vértice en $(1, g(1)) = (1, 2)$.

Las dos pasan por $(0, 3)$.

Puntos de corte.$$2x^2 - 4x + 3 = x^2 - 2x + 3 \iff x^2 - 2x = 0 \iff x(x - 2) = 0 \iff x = 0 \ \text{ o } \ x = 2$$Los puntos son $(0, 3)$ y $(2, 3)$.

Cuál va por encima. En $x = 1$ (dentro del intervalo): $g(1) = 2 > f(1) = 1$. Así que en $[0, 2]$ la parábola $g$ va por encima de $f$.

El recinto. Es una «lente» entre $x = 0$ y $x = 2$: arriba, el arco de $y = x^2 - 2x + 3$, que baja desde $(0, 3)$ hasta su vértice $(1, 2)$ y vuelve a subir hasta $(2, 3)$; abajo, el arco de $y = 2x^2 - 4x + 3$, que baja más, hasta su vértice $(1, 1)$, entre los mismos dos puntos. Es simétrico respecto de la recta $x = 1$, y su altura máxima, 1, está justo en $x = 1$.

Área. La diferencia entre la de arriba y la de abajo es$$g(x) - f(x) = (x^2 - 2x + 3) - (2x^2 - 4x + 3) = -x^2 + 2x$$$$A = \int_0^2 \left(-x^2 + 2x\right)dx = \left[-\frac{x^3}{3} + x^2\right]_0^2 = \left(-\frac{8}{3} + 4\right) - 0 = \frac{4}{3}$$