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Problema resuelto de Matemáticas II: Derivadas y aplicacionesSelectividad (PAU) · País Vasco 2023 · Julio

Enunciado

Sea

f(x) = x^3 + Ax^2 + Bx + C

. Encuentra los valores de los parámetros

A

B

C

para que

f(0) = 2

, las rectas tangentes a la gráfica de

f

en los puntos de abscisa

x = 1

x = 3

sean paralelas y

f

tenga un extremo relativo en el punto

x = -1

. Ese extremo relativo, ¿es un máximo o un mínimo? Estudia si

f

tiene algún otro extremo relativo y determina si son máximos o mínimos.

Comprobar el resultadocompara con lo que te ha salido

Resultado

$A = -6$ , $B = -15$ , $C = 2$ : $f(x) = x^3 - 6x^2 - 15x + 2$ .
En $x = -1$ hay un máximo relativo, el punto $(-1, 10)$ .
Hay otro extremo relativo, un mínimo, en $x = 5$ : el punto $(5, -98)$ . No hay más.

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

Hay tres incógnitas y tres condiciones; cada una se traduce en una ecuación:

$f(0) = 2$ da directamente $C$ .
Tangentes paralelas significa misma pendiente: $f'(1) = f'(3)$ .
Extremo relativo en $x = -1$ (en un polinomio, que es derivable) obliga a $f'(-1) = 0$ .

Con

A

B

C

conocidos, buscamos todos los puntos donde

f' = 0

y los clasificamos con el signo de

f''

(o con el de

f'

a cada lado).

Desarrollo

Derivada.

f'(x) = 3x^2 + 2Ax + B

.

Condición $f(0) = 2$ .

f(0) = C

, así que

C = 2

.

Tangentes paralelas en $x = 1$ y $x = 3$ .

f'(1) = f'(3) \iff 3 + 2A + B = 27 + 6A + B \iff -4A = 24 \iff A = -6

Extremo en $x = -1$ .

f'(-1) = 3 - 2A + B = 0 \;\xrightarrow{A = -6}\; 3 + 12 + B = 0 \iff B = -15

La función queda

f(x) = x^3 - 6x^2 - 15x + 2, \qquad f'(x) = 3x^2 - 12x - 15 = 3(x^2 - 4x - 5) = 3(x + 1)(x - 5)

Comprobación de las tangentes.

f'(1) = 3 - 12 - 15 = -24

f'(3) = 27 - 36 - 15 = -24

✓.

Puntos críticos.

f'(x) = 0 \iff x = -1

x = 5

. Así que, además del de

x = -1

, hay otro candidato en

x = 5

.

Derivada segunda.

f''(x) = 6x - 12

$f''(-1) = -6 - 12 = -18 < 0$ : en $x = -1$ hay un máximo relativo, en el punto $\left(-1, f(-1)\right)$ con $f(-1) = -1 - 6 + 15 + 2 = 10$ .
$f''(5) = 30 - 12 = 18 > 0$ : en $x = 5$ hay un mínimo relativo, con $f(5) = 125 - 150 - 75 + 2 = -98$ .

Lo confirma el signo de

f' = 3(x + 1)(x - 5)

: positiva en

(-\infty, -1)

, negativa en

(-1, 5)

y positiva en

(5, +\infty)

;

f

crece, decrece y vuelve a crecer.

¿Hay más extremos? No:

f'

es un polinomio de grado 2 y solo se anula en

x = -1

x = 5

Consejo

«Rectas tangentes paralelas» se traduce en igualdad de pendientes, $f'(1) = f'(3)$ , no en $f(1) = f(3)$ : es el error más habitual. Fíjate en que $B$ se cancela en esa ecuación y solo queda $A$ .

Los criterios dan 1,5 puntos a los parámetros y 0,5 a cada extremo ( $x = -1$ y $x = 5$ ). Para clasificar no basta con decir «es un máximo»: enséñalo con el signo de $f''$ o con la tabla de signos de $f'$ .