Se consideran tres planos de ecuaciones: \pi_1 \equiv 4x + 2y - 4z = 2, \qquad \pi_2 \equiv x - y - z = 2 \qquad \text{y} \qquad \pi_3 \equiv x + ay + z = b. ¿Existen valores de los parámetros a y b para los cuales los tres planos se cortan en una recta? En caso de que la respuesta sea negativa, razónala. En el caso de que la respuesta sea positiva, calcula dichos valores.

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Problema resuelto de Matemáticas II: Rectas y planosSelectividad (PAU) · País Vasco 2023 · Julio

Enunciado

Se consideran tres planos de ecuaciones:

\pi_1 \equiv 4x + 2y - 4z = 2, \qquad \pi_2 \equiv x - y - z = 2 \qquad \text{y} \qquad \pi_3 \equiv x + ay + z = b.

¿Existen valores de los parámetros

a

b

para los cuales los tres planos se cortan en una recta? En caso de que la respuesta sea negativa, razónala. En el caso de que la respuesta sea positiva, calcula dichos valores.

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Resultado

No existen valores de

a

b

|M| = -12 \neq 0

para todo

a

, así que

\operatorname{rg} M = \operatorname{rg} M^* = 3

siempre, el sistema es compatible determinado y los tres planos se cortan en un único punto.

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

Los puntos comunes a los tres planos son las soluciones del sistema que forman sus ecuaciones. Que los tres planos se corten en una recta quiere decir que el sistema tiene infinitas soluciones dependientes de un parámetro: compatible indeterminado con

\operatorname{rg} M = \operatorname{rg} M^* = 2

.

Así que lo primero es mirar el determinante de la matriz de coeficientes

M

. Si para algún

a

se anulara, buscaríamos después el

b

que hace que la ampliada también tenga rango 2. Pero si

|M|

no se anula nunca, el sistema es siempre compatible determinado y los planos se cortan siempre en un único punto.

Desarrollo

El sistema.

\begin{cases} 4x + 2y - 4z = 2 \\ x - y - z = 2 \\ x + ay + z = b \end{cases} \qquad M = \begin{pmatrix} 4 & 2 & -4 \\ 1 & -1 & -1 \\ 1 & a & 1 \end{pmatrix}

Condición para cortarse en una recta. Por Rouché-Frobenius, el sistema debe ser compatible indeterminado con un grado de libertad:

\operatorname{rg} M = \operatorname{rg} M^* = 2 < 3

. En particular, hace falta

|M| = 0

.

Determinante de $M$ . Desarrollando por la primera fila:

|M| = 4\,\big((-1)\cdot 1 - (-1)\cdot a\big) - 2\,\big(1\cdot 1 - (-1)\cdot 1\big) + (-4)\,\big(1\cdot a - (-1)\cdot 1\big)

|M| = 4(a - 1) - 2\cdot 2 - 4(a + 1) = 4a - 4 - 4 - 4a - 4 = -12

El determinante no depende de $a$ y vale

-12 \neq 0

para todo

a

. Por tanto, para cualesquiera

a

b

\operatorname{rg} M = \operatorname{rg} M^* = 3 = \text{número de incógnitas}

El sistema es siempre compatible determinado: los tres planos se cortan en un único punto, nunca en una recta.

Interpretación. Los vectores normales

(4, 2, -4)

(1, -1, -1)

(1, a, 1)

son siempre linealmente independientes; ninguna elección de

a

consigue que el tercer plano contenga la recta

\pi_1 \cap \pi_2

ni que sea paralelo a ella. Y

b

solo traslada el tercer plano, sin cambiar su orientación.

Consejo

Que la respuesta sea «no existen» no es una trampa rara: el enunciado ya lo deja abierto. Lo importante es justificarlo con el rango, no limitarse a decir que no salen valores. Los criterios dan 1,5 puntos a la discusión del sistema y 1 a responder la pregunta, así que escribe la conclusión con palabras: «el sistema es siempre compatible determinado, luego los planos se cortan en un punto».

Si en el determinante te sale una expresión con $a$ , revisa los signos: aquí los términos en $a$ se cancelan exactamente.