Matemáticas IIFácil2,5 pts

MatricesSelectividad (PAU) · País Vasco 2023 · Julio

País Vasco · 2023 · Julio
Enunciado
Calcula las dos matrices AA y BB que satisfacen las siguientes igualdades:A+B=(282926211),3A−2B=(6−166−3−418−418).A + B = \begin{pmatrix} 2 & 8 & 2 & 9 \\ 2 & 6 & 2 & 11 \end{pmatrix}, \qquad 3A - 2B = \begin{pmatrix} 6 & -16 & 6 & -3 \\ -4 & 18 & -4 & 18 \end{pmatrix}.
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Resultado
A=(20230608),B=(08062023)A = \begin{pmatrix} 2 & 0 & 2 & 3 \\ 0 & 6 & 0 & 8 \end{pmatrix}, \qquad B = \begin{pmatrix} 0 & 8 & 0 & 6 \\ 2 & 0 & 2 & 3 \end{pmatrix}
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Estrategia

Es un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas, solo que las incógnitas son matrices 2×42\times 4. Se resuelve igual que con números, por reducción: multiplicamos la primera igualdad por 2 y la sumamos a la segunda para que desaparezca BB. Así sale 5A5A, y de ahí AA. Después, B=(A+B)−AB = (A + B) - A.

No hace falta ninguna inversa: solo sumas de matrices y productos por un número, que se hacen elemento a elemento.
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Desarrollo

Llamamos S=A+BS = A + B y T=3A−2BT = 3A - 2B a las dos matrices dadas.

Eliminamos BB. Sumando 2S2S y TT:2S+T=2A+2B+3A−2B=5A2S + T = 2A + 2B + 3A - 2B = 5A2S=(416418412422),5A=(4+616−164+618−34−412+184−422+18)=(1001015030040)2S = \begin{pmatrix} 4 & 16 & 4 & 18 \\ 4 & 12 & 4 & 22 \end{pmatrix}, \qquad 5A = \begin{pmatrix} 4 + 6 & 16 - 16 & 4 + 6 & 18 - 3 \\ 4 - 4 & 12 + 18 & 4 - 4 & 22 + 18 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 10 & 0 & 10 & 15 \\ 0 & 30 & 0 & 40 \end{pmatrix}Despejamos AA. Dividiendo cada elemento entre 5:A=(20230608)A = \begin{pmatrix} 2 & 0 & 2 & 3 \\ 0 & 6 & 0 & 8 \end{pmatrix}Calculamos BB.B=S−A=(2−28−02−29−32−06−62−011−8)=(08062023)B = S - A = \begin{pmatrix} 2 - 2 & 8 - 0 & 2 - 2 & 9 - 3 \\ 2 - 0 & 6 - 6 & 2 - 0 & 11 - 8 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & 8 & 0 & 6 \\ 2 & 0 & 2 & 3 \end{pmatrix}(También se puede empezar por BB: 3S−T=3A+3B−3A+2B=5B3S - T = 3A + 3B - 3A + 2B = 5B.)

Comprobación en la segunda igualdad:3A−2B=(6069018024)−(0160124046)=(6−166−3−418−418) ✓3A - 2B = \begin{pmatrix} 6 & 0 & 6 & 9 \\ 0 & 18 & 0 & 24 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 0 & 16 & 0 & 12 \\ 4 & 0 & 4 & 6 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 6 & -16 & 6 & -3 \\ -4 & 18 & -4 & 18 \end{pmatrix} \ ✓
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Consejo

Los criterios dan 1,5 puntos por la primera matriz y 1 por la segunda: si te equivocas en una cuenta de AA, arrastras el error a BB. Por eso merece la pena comprobar sustituyendo en la igualdad que no usaste para despejar la última matriz; son ocho restas y te aseguran el ejercicio.
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