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Problema resuelto de Matemáticas II: ProbabilidadSelectividad (PAU) · País Vasco 2023 · Julio

Enunciado

Tenemos dos dados, uno normal y otro trucado. En el trucado hay 4 unos y 2 doses. Se elige un dado al azar y se tira dos veces.

a) ¿Cuál es la probabilidad de obtener un 1 en la primera tirada y un 2 en la segunda?

b) Sabiendo que el resultado de la primera tirada ha sido un 1 y el de la segunda ha sido un 2, calcula la probabilidad de que se haya escogido el dado trucado.

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Resultado

P(\text{1 y luego 2}) = \dfrac18 = 0{,}125

.

b)

P(\text{trucado} \mid \text{1 y luego 2}) = \dfrac89 \approx 0{,}889

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

Es un experimento en dos etapas: primero se elige el dado y después, con ese mismo dado, se tira dos veces. Un diagrama de árbol lo ordena:

Primera rama: dado normal ( $N$ ) o trucado ( $T$ ), cada uno con probabilidad $\tfrac12$ .
Segunda rama: obtener «1 y luego 2». Una vez elegido el dado, las dos tiradas son independientes, así que se multiplican las probabilidades de cada cara.

El apartado a) es la probabilidad total (sumar los dos caminos) y el b), Bayes (el camino del trucado entre el total).

Desarrollo

Sucesos.

N

= «se elige el dado normal»,

T

= «se elige el trucado» y

S

= «sale 1 en la primera tirada y 2 en la segunda».

P(N) = P(T) = \dfrac12

.

Probabilidades de cada cara.

Dado normal: $P(1) = P(2) = \dfrac16$ .
Dado trucado (caras 1, 1, 1, 1, 2, 2): $P(1) = \dfrac46$ , $P(2) = \dfrac26$ .

Probabilidad de $S$ con cada dado. Las dos tiradas con el mismo dado son independientes:

P(S \mid N) = \frac16\cdot\frac16 = \frac{1}{36}, \qquad P(S \mid T) = \frac46\cdot\frac26 = \frac{8}{36} = \frac29

a) Probabilidad total.

P(S) = P(N)\,P(S \mid N) + P(T)\,P(S \mid T) = \frac12\cdot\frac{1}{36} + \frac12\cdot\frac{8}{36} = \frac{1}{72} + \frac{8}{72} = \frac{9}{72} = \frac18

b) Teorema de Bayes.

P(T \mid S) = \frac{P(T)\,P(S \mid T)}{P(S)} = \frac{\dfrac{8}{72}}{\dfrac{9}{72}} = \frac89

Lectura. Obtener «1 y luego 2» es ocho veces más probable con el dado trucado que con el normal, así que, al verlo, la probabilidad de que el dado sea el trucado sube de

\tfrac12

\tfrac89 \approx 0{,}889

Consejo

Los criterios dan medio punto solo por el planteamiento: dibuja el árbol con el dado en la primera rama y las dos tiradas después, y nombra los sucesos.

Un error típico es tratar la elección del dado como si se repitiera en cada tirada: el dado se elige una vez y con él se tira dos veces. Por eso $P(S \mid T)$ es el producto de las dos caras del trucado, no una mezcla de ambos dados.