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Problema resuelto de Matemáticas II: IntegralesSelectividad (PAU) · País Vasco 2023 · Julio

Enunciado

Calcula

\displaystyle\int (x^2 + 1)\,e^{x+1}\,dx

, explicando el método utilizado.

Comprobar el resultadocompara con lo que te ha salido

Resultado

Por partes, dos veces (derivando el polinomio e integrando la exponencial):

\int (x^2 + 1)\,e^{x+1}\,dx = (x^2 - 2x + 3)\,e^{x+1} + k, \quad k \in \mathbb{R}

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

El integrando es un polinomio por una exponencial: el caso típico de integración por partes. La idea es derivar el polinomio (que baja de grado cada vez) e integrar la exponencial (que no cambia: la primitiva de

e^{x+1}

e^{x+1}

).

Como el polinomio es de grado 2, hacen falta dos integraciones por partes: la primera deja

\int 2x\,e^{x+1}\,dx

y la segunda deja

\int 2\,e^{x+1}\,dx

, que ya es inmediata.

Desarrollo

El método. La integración por partes viene de la derivada de un producto,

(uv)' = u'v + uv'

. Integrando y despejando:

\int u\,dv = u\,v - \int v\,du

Conviene elegir como

u

la parte que se simplifica al derivar (el polinomio) y como

dv

la que sabemos integrar (la exponencial).

Primera integración por partes.

u = x^2 + 1 \;\Rightarrow\; du = 2x\,dx, \qquad dv = e^{x+1}\,dx \;\Rightarrow\; v = e^{x+1}

\int (x^2 + 1)\,e^{x+1}\,dx = (x^2 + 1)\,e^{x+1} - \int 2x\,e^{x+1}\,dx

Segunda integración por partes.

u = 2x \;\Rightarrow\; du = 2\,dx, \qquad dv = e^{x+1}\,dx \;\Rightarrow\; v = e^{x+1}

\int 2x\,e^{x+1}\,dx = 2x\,e^{x+1} - \int 2\,e^{x+1}\,dx = 2x\,e^{x+1} - 2\,e^{x+1} + k

Uniendo los dos resultados.

\int (x^2 + 1)\,e^{x+1}\,dx = (x^2 + 1)\,e^{x+1} - 2x\,e^{x+1} + 2\,e^{x+1} + k = (x^2 - 2x + 3)\,e^{x+1} + k

(La constante cambia de signo al restar, pero sigue siendo una constante arbitraria: la llamamos

k

igualmente.)

Comprobación derivando.

\frac{d}{dx}\Big[(x^2 - 2x + 3)\,e^{x+1}\Big] = (2x - 2)\,e^{x+1} + (x^2 - 2x + 3)\,e^{x+1} = (x^2 + 1)\,e^{x+1} \ ✓

Consejo

El enunciado pide explicar el método, y los criterios lo puntúan aparte (0,5 puntos): escribe la fórmula $\int u\,dv = uv - \int v\,du$ y di qué tomas como $u$ y como $dv$ en cada paso. Las dos integraciones por partes valen 1 punto cada una.

Cuidado con los signos al juntar: el $-\int 2x\,e^{x+1}\,dx$ cambia el signo de todo lo que sale de la segunda integración. Derivar el resultado al final te lo confirma en un minuto.