Problema resuelto de Matemáticas II: Derivadas y aplicacionesSelectividad (PAU) · País Vasco 2023 · Julio

Dominio y simetría. $x^2 + 1 > 0$ para todo $x$, así que $\operatorname{Dom} f = \mathbb{R}$. Además $f(-x) = \dfrac{-x}{x^2 + 1} = -f(x)$: la función es impar (gráfica simétrica respecto del origen). Su signo es el de $x$: negativa para $x < 0$, positiva para $x > 0$, y $f(0) = 0$.

Derivada.$$f'(x) = \frac{1\cdot(x^2 + 1) - x\cdot 2x}{(x^2 + 1)^2} = \frac{1 - x^2}{(x^2 + 1)^2} = \frac{(1 - x)(1 + x)}{(x^2 + 1)^2}$$Puntos críticos. $f'(x) = 0 \iff 1 - x^2 = 0 \iff x = -1$ o $x = 1$.

Signo de $f'$. El denominador es positivo, así que manda $1 - x^2$:Extremos. En $x = -1$ la función pasa de decrecer a crecer: mínimo relativo en $\left(-1, f(-1)\right) = \left(-1, -\tfrac{1}{2}\right)$. En $x = 1$ pasa de crecer a decrecer: máximo relativo en $\left(1, \tfrac{1}{2}\right)$. (Son además absolutos, porque la función tiende a 0 en los extremos.)

Asíntotas verticales. El denominador $x^2 + 1$ no se anula en $\mathbb{R}$: no hay.

Asíntota horizontal.$$\lim_{x \to \pm\infty} \frac{x}{x^2 + 1} = \lim_{x \to \pm\infty} \frac{1/x}{1 + 1/x^2} = 0$$La recta $y = 0$ es asíntota horizontal en $-\infty$ y en $+\infty$. Al tener horizontal en los dos lados, no hay oblicuas. La gráfica se acerca a $y = 0$ por debajo cuando $x \to -\infty$ (allí $f < 0$) y por encima cuando $x \to +\infty$ ($f > 0$).

Recta tangente en $x = 0$. $f(0) = 0$ y $f'(0) = \dfrac{1 - 0}{(0 + 1)^2} = 1$:$$y - 0 = 1\cdot(x - 0) \quad\Longrightarrow\quad y = x$$Representación gráfica. Juntando todo: viniendo de $-\infty$, la curva está ligeramente por debajo del eje $X$, pegada a él, y baja hasta el mínimo $\left(-1, -\tfrac12\right)$; desde ahí sube, pasa por el origen tangente a la recta $y = x$ (con pendiente 1, la mayor de toda la curva) y llega al máximo $\left(1, \tfrac12\right)$; después baja de nuevo y se acerca al eje $X$ por encima cuando $x \to +\infty$. Es una «S» tumbada y achatada, simétrica respecto del origen, que nunca sale de la franja $-\tfrac12 \le y \le \tfrac12$. Algunos puntos para dibujarla: $f(2) = 0{,}4$, $f(3) = 0{,}3$ y sus simétricos $f(-2) = -0{,}4$, $f(-3) = -0{,}3$.