Matemáticas IIFácil2,5 pts

Problema resuelto de Matemáticas II: Rectas y planosSelectividad (PAU) · País Vasco 2023 · Julio

Enunciado

Sean la recta

r

y el plano

\pi

, que se cortan perpendicularmente en el punto

P(1, -1, 2)

. Si el plano

\pi

pasa por el punto

Q(1, 2, 3)

y contiene al vector

(0, 0, 2)

, calcula las ecuaciones de la recta

r

y del plano

\pi

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Resultado

Plano: $\pi:\ x = 1$ (o $x - 1 = 0$ ).
Recta: $r:\ (x, y, z) = (1, -1, 2) + t\,(1, 0, 0)$ , es decir, $x = 1 + t$ , $y = -1$ , $z = 2$ ; o bien $y = -1,\ z = 2$ .

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

Del plano conocemos dos puntos,

P

(porque la recta lo corta en

P

, así que

P \in \pi

) y

Q

, y un vector contenido en él,

(0, 0, 2)

. Con el vector

\overrightarrow{PQ}

y el

(0, 0, 2)

tenemos dos direcciones del plano; su producto vectorial da el vector normal, y con un punto, la ecuación general.

La recta es perpendicular al plano, así que su vector director es el normal del plano, y pasa por

P

. Con eso ya está.

Desarrollo

Dos vectores del plano.

\overrightarrow{PQ} = (1 - 1,\ 2 - (-1),\ 3 - 2) = (0, 3, 1), \qquad \vec v = (0, 0, 2)

No son proporcionales, así que determinan el plano.

Vector normal.

\vec n = \overrightarrow{PQ} \times \vec v = \begin{vmatrix} \vec i & \vec j & \vec k \\ 0 & 3 & 1 \\ 0 & 0 & 2 \end{vmatrix} = (3\cdot 2 - 1\cdot 0,\ 1\cdot 0 - 0\cdot 2,\ 0\cdot 0 - 3\cdot 0) = (6, 0, 0)

Tomamos el proporcional

\vec n = (1, 0, 0)

.

Ecuación del plano.

1\cdot(x - 1) + 0\cdot(y + 1) + 0\cdot(z - 2) = 0

, es decir,

\pi:\ x - 1 = 0 \quad (x = 1)

Comprobación.

P

Q

tienen

x = 1

✓, y el vector

(0, 0, 2)

es perpendicular a

(1, 0, 0)

✓. Tiene sentido: los dos vectores del plano tienen primera coordenada nula, así que el plano es «vertical» respecto del eje

X

.

Recta $r$ . Pasa por

P(1, -1, 2)

con vector director

\vec n = (1, 0, 0)

r:\ \begin{cases} x = 1 + t \\ y = -1 \\ z = 2 \end{cases} \quad t \in \mathbb{R}

En forma implícita:

r:\ \begin{cases} y = -1 \\ z = 2 \end{cases}

(es la paralela al eje

X

por

P

Consejo

El punto clave es darse cuenta de que $P$ también está en el plano: el enunciado dice que la recta corta al plano en $P$ . Sin él solo tendrías un punto y un vector, y no podrías hallar el plano. Los criterios puntúan por separado el vector normal (0,75), la ecuación del plano (0,75) y la recta (1): aunque te equivoques en el normal, plantea bien la recta con él.