Problema resuelto de Matemáticas II: Sistemas de ecuacionesSelectividad (PAU) · País Vasco 2023 · Julio

Matrices del sistema.$$M = \begin{pmatrix} 3 & 1 & \alpha \\ 2 & \alpha & 1 \\ 3 & \alpha & 1 \end{pmatrix}, \qquad M^* = \left(\begin{array}{ccc|c} 3 & 1 & \alpha & 0 \\ 2 & \alpha & 1 & 1 \\ 3 & \alpha & 1 & \alpha - 1 \end{array}\right)$$Determinante de $M$. Desarrollando por la primera fila:$$|M| = 3(\alpha\cdot 1 - 1\cdot\alpha) - 1\,(2\cdot 1 - 1\cdot 3) + \alpha\,(2\alpha - 3\alpha) = 0 + 1 - \alpha^2 = 1 - \alpha^2$$Un atajo: restando la segunda fila a la tercera queda la fila $(1, 0, 0)$, y desarrollando por ella $|M| = \begin{vmatrix} 1 & \alpha \\ \alpha & 1 \end{vmatrix} = 1 - \alpha^2$.$$|M| = 0 \iff \alpha^2 = 1 \iff \alpha = 1 \ \text{ o } \ \alpha = -1$$Caso $\alpha \neq 1$ y $\alpha \neq -1$. $|M| \neq 0$, así que $\operatorname{rg} M = \operatorname{rg} M^* = 3 =$ número de incógnitas: sistema compatible determinado (solución única).

Caso $\alpha = 1$. El sistema queda$$\begin{cases} 3x + y + z = 0 \\ 2x + y + z = 1 \\ 3x + y + z = 0 \end{cases}$$La primera y la tercera ecuación son idénticas (también el término independiente, $\alpha - 1 = 0$). El menor $\begin{vmatrix} 3 & 1 \\ 2 & 1 \end{vmatrix} = 1 \neq 0$, luego $\operatorname{rg} M = 2$, y como en $M^*$ la tercera fila repite la primera, $\operatorname{rg} M^* = 2$. Como $2 < 3$: sistema compatible indeterminado (infinitas soluciones, con un parámetro).

Caso $\alpha = -1$. El sistema queda$$\begin{cases} 3x + y - z = 0 \\ 2x - y + z = 1 \\ 3x - y + z = -2 \end{cases}$$$\operatorname{rg} M = 2$ (el menor $\begin{vmatrix} 3 & 1 \\ 2 & -1 \end{vmatrix} = -5 \neq 0$). En $M^*$ orlamos con la columna de términos independientes, usando las columnas de $x$, $y$ y la de términos:$$\begin{vmatrix} 3 & 1 & 0 \\ 2 & -1 & 1 \\ 3 & -1 & -2 \end{vmatrix} = 3\,(2 + 1) - 1\,(-4 - 3) + 0 = 9 + 7 = 16 \neq 0$$Así que $\operatorname{rg} M^* = 3 \neq \operatorname{rg} M = 2$: sistema incompatible (no tiene solución). Se ve también sin determinantes: la segunda y la tercera ecuación tienen $-y + z$ en común; restándolas sale $x = -3$, y con eso la segunda da $-y + z = 7$ y la primera $y - z = 9$, que es contradictorio.

Resolución para $\alpha = 0$. Como $0 \neq \pm 1$, el sistema es compatible determinado. Queda$$\begin{cases} 3x + y = 0 \\ 2x + z = 1 \\ 3x + z = -1 \end{cases}$$Restando la segunda ecuación a la tercera: $x = -2$. Entonces, de la primera, $y = -3x = 6$, y de la segunda, $z = 1 - 2x = 5$.

Comprobación. $3(-2) + 6 = 0$ ✓; $2(-2) + 5 = 1$ ✓; $3(-2) + 5 = -1 = \alpha - 1$ ✓.