Distribución normal

a) Las sardinas de calidad miden más de $160$ mm:$$P(X > 160) = P\left(Z > \frac{160 - 175}{25{,}75}\right) = P(Z > -0{,}5825) \approx P(Z > -0{,}58)$$Por la simetría de la normal, $P(Z > -0{,}58) = P(Z < 0{,}58)$, y en la tabla:$$P(X > 160) \approx P(Z < 0{,}58) = 0{,}7190$$Aproximadamente el 71,90 % de las sardinas son de la calidad que pide la envasadora. (Sin redondear $z$, con calculadora, sale un 71,99 %.)

b) Buscamos $t < 175$ con $P(t < X < 175) = 0{,}18$. Como $P(X < 175) = 0{,}5$:$$P(X < t) = 0{,}5 - 0{,}18 = 0{,}32$$Al ser $t$ menor que la media, su tipificado $z_t = \dfrac{t - 175}{25{,}75}$ es negativo y$$P(Z < z_t) = 0{,}32 \;\Longrightarrow\; P(Z < -z_t) = 1 - 0{,}32 = 0{,}68$$En la tabla, $0{,}68$ está entre $P(Z < 0{,}46) = 0{,}6772$ y $P(Z < 0{,}47) = 0{,}6808$; el más cercano es $0{,}47$. Entonces $z_t = -0{,}47$ y$$\frac{t - 175}{25{,}75} = -0{,}47 \;\Longrightarrow\; t = 175 - 0{,}47\cdot 25{,}75 = 175 - 12{,}1025 \approx 162{,}9 \text{ mm}$$Entre unos $162{,}9$ mm (16,29 cm) y $175$ mm está el 18 % de las sardinas.

c) Una sardina. La probabilidad de que una sardina sea pequeña (menos de $150$ mm) es$$p = P(X < 150) = P\left(Z < \frac{150 - 175}{25{,}75}\right) = P(Z < -0{,}9709) \approx P(Z < -0{,}97)$$$$p \approx 1 - P(Z < 0{,}97) = 1 - 0{,}8340 = 0{,}1660$$Un lote de 10. Las longitudes de las sardinas del lote son independientes, así que el número de sardinas pequeñas sigue una binomial $Y \sim B(10;\ 0{,}166)$. "Al menos una devuelta" es el suceso contrario de "ninguna devuelta":$$P(Y \geq 1) = 1 - P(Y = 0) = 1 - (1 - 0{,}166)^{10} = 1 - 0{,}834^{10}$$$$0{,}834^{10} \approx 0{,}1628 \;\Longrightarrow\; P(Y \geq 1) \approx 1 - 0{,}1628 = 0{,}8372$$La probabilidad de que en un lote haya al menos una sardina devuelta es de, aproximadamente, 0,837 (un 83,7 %).