Rectas y planos

Datos. En paramétricas,$$r \equiv \left\{\begin{array}{l} x = 1 + 2t \\ y = t \\ z = -1 - 2t \end{array}\right., \qquad \vec{v} = (2,\ 1,\ -2), \qquad \vec{n}_{\pi} = (1,\ 0,\ -1)$$a) Producto escalar del director de la recta y la normal del plano:$$\vec{v}\cdot\vec{n}_{\pi} = 2\cdot 1 + 1\cdot 0 + (-2)(-1) = 4 \neq 0$$La recta no es paralela al plano: $r$ y $\pi$ son secantes y se cortan en un único punto. Sustituimos las paramétricas en $x - z = 2$:$$(1 + 2t) - (-1 - 2t) = 2 \;\Longrightarrow\; 2 + 4t = 2 \;\Longrightarrow\; t = 0$$El punto de corte es $P = (1,\ 0,\ -1)$. Comprobación: $1 - (-1) = 2$ ✓ (es justo el punto base de $r$).

b) Recta perpendicular a $\pi$ por $A(1,1,1)$, con dirección $\vec{n}_{\pi}$:$$s \equiv (x,\ y,\ z) = (1 + \lambda,\ 1,\ 1 - \lambda)$$Corte con $\pi$:$$(1 + \lambda) - (1 - \lambda) = 2 \;\Longrightarrow\; 2\lambda = 2 \;\Longrightarrow\; \lambda = 1$$La proyección ortogonal de $A$ sobre $\pi$ es$$A_{\pi} = (2,\ 1,\ 0)$$Comprobación: $2 - 0 = 2$ ✓, y $\overrightarrow{AA_{\pi}} = (1, 0, -1) = \vec{n}_{\pi}$, perpendicular al plano ✓.

c) Plano perpendicular a $r$ por $A$. Su normal es $\vec{v} = (2, 1, -2)$:$$\sigma \equiv 2x + y - 2z + D = 0, \qquad A \in \sigma:\ 2 + 1 - 2 + D = 0 \;\Rightarrow\; D = -1$$$$\sigma \equiv 2x + y - 2z - 1 = 0$$Punto medio $M = r \cap \sigma$.$$2(1 + 2t) + t - 2(-1 - 2t) - 1 = 0 \;\Longrightarrow\; 2 + 4t + t + 2 + 4t - 1 = 0 \;\Longrightarrow\; 9t + 3 = 0 \;\Longrightarrow\; t = -\frac{1}{3}$$$$M = \left(1 - \frac{2}{3},\ -\frac{1}{3},\ -1 + \frac{2}{3}\right) = \left(\frac{1}{3},\ -\frac{1}{3},\ -\frac{1}{3}\right)$$Simétrico. Como $M$ es el punto medio de $A$ y $A'$, $A' = 2M - A$:$$A' = \left(\frac{2}{3} - 1,\ -\frac{2}{3} - 1,\ -\frac{2}{3} - 1\right) = \left(-\frac{1}{3},\ -\frac{5}{3},\ -\frac{5}{3}\right)$$Comprobación. $\overrightarrow{AA'} = \left(-\frac{4}{3}, -\frac{8}{3}, -\frac{8}{3}\right)$, y $\overrightarrow{AA'}\cdot\vec{v} = -\frac{8}{3} - \frac{8}{3} + \frac{16}{3} = 0$ ✓ (el segmento es perpendicular a $r$). El punto medio de $A$ y $A'$ es $\left(\frac{1 - 1/3}{2}, \frac{1 - 5/3}{2}, \frac{1 - 5/3}{2}\right) = \left(\frac{1}{3}, -\frac{1}{3}, -\frac{1}{3}\right) = M$, que está en $r$ con $t = -\frac{1}{3}$ ✓.