Sistemas de ecuaciones

a) Las matrices de coeficientes y ampliada son$$M = \begin{pmatrix} a+1 & 4 & 0 \\ 0 & a-1 & 1 \\ 4 & 2a & 1 \end{pmatrix}, \qquad M^* = \left(\begin{array}{ccc|c} a+1 & 4 & 0 & 0 \\ 0 & a-1 & 1 & 3 \\ 4 & 2a & 1 & 3 \end{array}\right)$$Desarrollando por la primera fila:$$|M| = (a+1)\bigl[(a-1) - 2a\bigr] - 4\,(0 - 4) + 0 = -(a+1)^2 + 16$$Es una diferencia de cuadrados:$$|M| = 16 - (a+1)^2 = \bigl(4 - (a+1)\bigr)\bigl(4 + (a+1)\bigr) = (3 - a)(a + 5)$$$$|M| = 0 \iff a = 3 \ \text{ o } \ a = -5$$Caso $a \neq 3$ y $a \neq -5$. $|M| \neq 0$, así que $\operatorname{rg} M = \operatorname{rg} M^* = 3 =$ número de incógnitas: sistema compatible determinado.

Caso $a = 3$.$$M^* = \left(\begin{array}{ccc|c} 4 & 4 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 1 & 3 \\ 4 & 6 & 1 & 3 \end{array}\right)$$El menor $\begin{vmatrix} 4 & 4 \\ 0 & 2 \end{vmatrix} = 8 \neq 0$, luego $\operatorname{rg} M = 2$. En la ampliada, la tercera fila es la suma de las dos primeras: $(4, 6, 1 \mid 3) = (4, 4, 0 \mid 0) + (0, 2, 1 \mid 3)$. Así que $\operatorname{rg} M^* = 2$. Como $\operatorname{rg} M = \operatorname{rg} M^* = 2 < 3$: sistema compatible indeterminado (un parámetro).

Caso $a = -5$.$$M^* = \left(\begin{array}{ccc|c} -4 & 4 & 0 & 0 \\ 0 & -6 & 1 & 3 \\ 4 & -10 & 1 & 3 \end{array}\right)$$El menor $\begin{vmatrix} -4 & 4 \\ 0 & -6 \end{vmatrix} = 24 \neq 0$, luego $\operatorname{rg} M = 2$. En la ampliada, la tercera fila es la segunda menos la primera: $(0, -6, 1 \mid 3) - (-4, 4, 0 \mid 0) = (4, -10, 1 \mid 3)$. Así que también $\operatorname{rg} M^* = 2$ y el sistema es compatible indeterminado.

(Es lo que anunciaba la estrategia: como la columna de términos independientes es proporcional a la de $z$, añadirla nunca sube el rango, y el sistema no puede ser incompatible.)b) Para $a = 3$ nos quedamos con las dos primeras ecuaciones (la tercera es su suma):$$\left\{\begin{array}{l} 4x + 4y = 0 \\ 2y + z = 3 \end{array}\right.$$Tomando $x = \lambda$: de la primera, $y = -\lambda$; de la segunda, $z = 3 - 2y = 3 + 2\lambda$. La solución es$$(x,\ y,\ z) = (\lambda,\ -\lambda,\ 3 + 2\lambda), \qquad \lambda \in \mathbb{R}$$Comprobación en la tercera ecuación: $4\lambda + 6(-\lambda) + (3 + 2\lambda) = 3$ ✓.

c) Para $a = 5$, $|M| = (3 - 5)(5 + 5) = -20 \neq 0$: el sistema es compatible determinado y su solución es única. El sistema es$$\left\{\begin{array}{l} 6x + 4y = 0 \\ 4y + z = 3 \\ 4x + 10y + z = 3 \end{array}\right.$$Restando la segunda ecuación a la tercera: $4x + 6y = 0$. Junto con $6x + 4y = 0$ forma un sistema homogéneo con determinante $\begin{vmatrix} 6 & 4 \\ 4 & 6 \end{vmatrix} = 20 \neq 0$, cuya única solución es $x = 0$, $y = 0$. Entonces, de la segunda ecuación, $z = 3$:$$(x,\ y,\ z) = (0,\ 0,\ 3)$$Comprobación: $0 + 0 = 0$ ✓; $0 + 3 = 3$ ✓; $0 + 0 + 3 = 3$ ✓. Es justo la solución que veíamos de antemano, y por ser el sistema determinado no hay otra.