Matemáticas IIFácilProblema · 2,5 pts

Probabilidad

Comunidad de Madrid · 2023 · Junio

Enunciado

Se tiene un suceso

A

de probabilidad

P(A) = 0{,}3

.

a) (0,75 puntos) Un suceso

B

de probabilidad

P(B) = 0{,}5

es independiente de

A

. Calcule

P(A \cup B)

.

b) (0,75 puntos) Otro suceso

C

cumple

P(C \mid A) = 0{,}5

. Determine

P(A \cap \overline{C})

.

c) (1 punto) Si se tiene un suceso

D

tal que

P(\overline{A} \mid D) = 0{,}2

P(D \mid A) = 0{,}5

, calcule

P(D)

Comprobar el resultadocompara con lo que te ha salido

Resultado

\boxed{\;\text{a)}\ P(A \cup B) = 0{,}65 \qquad \text{b)}\ P(A \cap \overline{C}) = 0{,}15 \qquad \text{c)}\ P(D) = \frac{3}{16} = 0{,}1875\;}

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

Los tres apartados se resuelven con tres herramientas básicas:

a) La probabilidad de la unión, $P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$ , donde la independencia nos da la intersección: $P(A \cap B) = P(A)\,P(B)$ .
b) La definición de probabilidad condicionada da $P(A \cap C)$ , y $A$ se parte en dos trozos disjuntos: $A = (A \cap C) \cup (A \cap \overline{C})$ .
c) La clave es que $P(A \cap D)$ se puede escribir de dos maneras: $P(D \mid A)\,P(A)$ y $P(A \mid D)\,P(D)$ . Igualándolas despejamos $P(D)$ (es la regla de Bayes leída al revés).

Desarrollo

a) Por ser

A

B

independientes,

P(A \cap B) = P(A)\cdot P(B) = 0{,}3 \cdot 0{,}5 = 0{,}15

y entonces

P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B) = 0{,}3 + 0{,}5 - 0{,}15 = 0{,}65

b) Por la definición de probabilidad condicionada,

P(A \cap C) = P(C \mid A)\cdot P(A) = 0{,}5 \cdot 0{,}3 = 0{,}15

Como

A

es la unión disjunta de

A \cap C

A \cap \overline{C}

P(A \cap \overline{C}) = P(A) - P(A \cap C) = 0{,}3 - 0{,}15 = 0{,}15

(Equivalentemente,

P(\overline{C} \mid A) = 1 - 0{,}5 = 0{,}5

P(A \cap \overline{C}) = 0{,}5 \cdot 0{,}3 = 0{,}15

.)

c) Del dato

P(\overline{A} \mid D) = 0{,}2

sacamos, por el complementario (condicionado a

D

P(A \mid D) = 1 - P(\overline{A} \mid D) = 1 - 0{,}2 = 0{,}8

La probabilidad de

A \cap D

se escribe de dos formas:

P(A \cap D) = P(D \mid A)\cdot P(A) = 0{,}5 \cdot 0{,}3 = 0{,}15

P(A \cap D) = P(A \mid D)\cdot P(D) = 0{,}8\cdot P(D)

Igualando (es la regla de Bayes,

P(A \mid D) = \dfrac{P(D \mid A)\,P(A)}{P(D)}

, despejada para

P(D)

0{,}8\cdot P(D) = 0{,}15 \;\Longrightarrow\; P(D) = \frac{0{,}15}{0{,}8} = 0{,}1875 = \frac{3}{16}

Comprobación. Con

P(D) = 0{,}1875

P(A \cap D) = 0{,}15

P(\overline{A} \cap D) = 0{,}1875 - 0{,}15 = 0{,}0375

, que da

P(\overline{A} \mid D) = 0{,}0375/0{,}1875 = 0{,}2

✓. Además

P(A \cap D) = 0{,}15 \leq P(A) = 0{,}3

P(D \mid \overline{A}) = 0{,}0375/0{,}7 = 3/56 \approx 0{,}054

, una probabilidad válida, así que los datos son coherentes.

En la simulación, el árbol con la partición

\{A, \overline{A}\}

y esa

P(D \mid \overline{A}) \approx 0{,}0536

reproduce

P(D) = 0{,}1875

P(A \mid D) = 0{,}8

Simulación interactivaVisualiza este problema en una simulación (se abre en una nueva pestaña)

Consejo

No confundas independientes con incompatibles: independientes significa $P(A \cap B) = P(A)\,P(B)$ , no $P(A \cap B) = 0$ . Con incompatibles saldría $0{,}8$ en a).

En c), $P(\overline{A} \mid D)$ y $P(D \mid A)$ están condicionadas a sucesos distintos: el complementario solo se toma dentro de la misma condición, $P(A \mid D) = 1 - P(\overline{A} \mid D)$ . Escribir $P(A \mid D) = 1 - P(D \mid A)$ es el error más frecuente.